[論文レビュー] Convergence and Stationary Distributions for Walsh Diffusions

Tomoyuki Ichiba, Andrey Sarantsev|arXiv (Cornell University)|Jun 21, 2017

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 23被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、原点から放射状に拡散し、原点でスピン測度に従ってランダムに再方向転換するマークフ・過程であるウォルシュ拡散について、定常分布の存在と一意性を確立する。ディリクレ形式とリャプノフ関数を用いて、ドリフトおよび拡散係数の弱い正則性条件下で指数的エルゴドゥシティを証明し、不変測度への収束速度を明示的に示す。

ABSTRACT

A Walsh diffusion on Euclidean space moves along each ray from the origin, as a solution to a stochastic differential equation with certain drift and diffusion coefficients, as long as it stays away from the origin. As it hits the origin, it instantaneously chooses a new direction according to a given probability law, called the spinning measure. A special example is a real-valued diffusion with skew reflections at the origin. This process continuously (in the weak sense) depends on the spinning measure. We determine a stationary measure for such process, explore long-term convergence to this distribution and establish an explicit rate of exponential convergence.

研究の動機と目的

• 一般のスピン測度を有する $\mathbb{R}^d$ 上のウォルシュ拡散の定常分布を特定すること。
• そのような過程が定常分布へ指数的速さで収束するための条件を確立すること。
• 原点付近の局所的挙動を分析し、過程のフェラー連続性を保証すること。
• 非退化する拡散係数を有する一般のウォルシュ拡散へ、歪められたブラウン運動に関する結果を拡張すること。
• ディリクレ形式を用いて、反射的ウォルシュ拡散の厳密な構成を行うこと。

提案手法

• ディリクレ形式を用いて、ウォルシュ拡散の不変測度の構成と特徴付けを行う。
• リャプノフ関数の技法を適用し、指数的エルゴドゥシティを証明するとともに、明示的な収束速度を導出する。
• 時間変換されたSDEと逆時間変換写像を用いて、ウォルシュ拡散と反射ブラウン運動との関係を確立する。
• 経路空間上のパスワイズ収束と遷移密度の連続性の分析を通じて、フェラー連続性を確立する。
• 径方向過程 $\|X(t)\|$ と反射ブラウン運動との関係を用いて、到達時間の推定を導出する。
• 経路空間における弱収束およびコンパクト性の議論を用いて、スピン測度における過程の連続性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どの条件下で $\mathbb{R}^d$ 上のウォルシュ拡散が一意な定常分布を有するか？
• RQ2 定常分布への収束速度は何か、そしてそれが明示的に定量化可能か？
• RQ3 原点付近での過程の挙動はいかなるものか、またフェラー連続性を保証する条件は何か？
• RQ4 スピン測度 $\mu$ は、過程の長期的挙動およびエルゴドゥシティにどのように影響するか？
• RQ5 ディリクレ形式のアプローチは、一般のウォルシュ拡散の不変測度の構成と特徴付けに用いられるか？

主な発見

• ドリフトおよび拡散係数の弱い正則性条件下で、ウォルシュ拡散に対して一意な定常分布が存在する。
• 過程はリャプノフ関数を用いて明示的に評価可能な指数的収束率で定常分布へ収束する。
• 径方向過程 $\|X(t)\|$ は $[0,\infty)$ 上の反射拡散と同様に振る舞い、原点における局所時がスピン測度 $\mu$ を決定する。
• スピン測度 $\mu$ が非原子的であっても、ディリクレ形式による不変測度の構成は有効であり、従来の有限台集合に制限された結果を拡張する。
• 拡散係数 $\sigma$ がコンパクト集合上でゼロおよび無限大から離れている限り、指数的エルゴドゥシティが成立する。
• 過程はスピン測度 $\mu$ に関して弱連続であり、$\mu$ の摂動に対しても安定である。