[論文レビュー] Convergence in capacity

Urban Cegrell|ArXiv.org|May 11, 2005

Geometry and complex manifolds参考文献 1被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、複素数空間 $\mathbb{C}^n$ 内のクラス $\mathcal{F}$ に属する plurisubharmonic 関数列 $u_j$ が $\mathbb{C}^n$ -容量において $u$ に収束するという仮定の下で、Monge-Ampère 測度 $(dd^c u_j)^n$ が弱*位相において $(dd^c u)^n$ に収束することを確立する。主な結果は、hyperconvex 領域における近似と容量推定を用いて、容量収束と関連する Monge-Ampère 測度の弱*収束を結びつけることにより、以前の収束定理を一般化するものである。

ABSTRACT

The purpose of this paper is to study convergence of Monge-Ampere measures associated to sequences of plurisubharmonic functions defined on a hyperconvex subset of ${\mathbb C^n}$.

研究の動機と目的

• クラス $\mathcal{F}$ に属する plurisubharmonic 関数列の Monge-Ampère 測度の収束を一般化すること。
• 関数列が $\mathbb{C}^n$ -容量において収束するならば、関連する Monge-Ampère 測度が弱*収束することを確立すること。
• 一様有界な関数列に対する以前の結果を、有界でないが Monge-Ampère 質量が有限である関数を含むより広いクラス $\mathcal{F}$ に拡張すること。
• 容量と近似を用いた関数解析的枠組みを提供し、非線形測度の収束を制御すること。

提案手法

• 関数列 $u_j$ が $\mathbb{C}^n$ -容量において収束することを、任意のコンパクト集合 $K \subset\subset \Omega$ と $\delta > 0$ に対して $\mathrm{cap}(\{z \in K : |u - u_j| > \delta\}) \to 0$ と定義する。
• 問題を連続関数でコンパクトな台を持つ境界正則化クラスに還元するために、$\mathcal{E}_0 \cap C(\bar{\Omega})$ に属する関数による近似を適用する。
• 測度 $\mu_p = \min(f, p)(dd^c \psi)^n$ を用いた切断技術により、極小集合上で消失する一般の正測度を近似する。
• 積分 $\int u_j \, d\mu_p \to \int u \, d\mu_p$ の弱*収束を用い、Fatou の補題と単調収束定理を適用して極限に移る。
• Monge-Ampère 形式の次数に関する再帰的議論を用い、$p$ -形式に対して成立すると仮定して $p+1$ -形式の収束を証明し、誤差項を容量と部分集合に依存する推定で制御する。
• 集合 $\{|u_j - u| > \varepsilon\}$ において $u_j - u$ の差を制御するため、容量に基づく上界関数 $h_N^*$ を構成し、積分可能性と誤差項の減衰を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 関数列 $u_j \in \mathcal{F}$ が $\mathbb{C}^n$ -容量において収束するならば、関連する Monge-Ampère 測度 $(dd^c u_j)^n$ は弱*収束するか？
• RQ2 一様有界な関数列に対する収束結果を、有界でないが Monge-Ampère 質量が有限である関数を含むクラス $\mathcal{F}$ に拡張できるか？
• RQ3 容量推定をどのように用いて、複素ポテンシャル論における非線形測度の収束を制御できるか？
• RQ4 $\mathcal{E}_0$ -関数による近似と測度の切断が、Monge-Ampère 測度の弱*収束を証明するために果たす役割は何か？

主な発見

• 関数列 $u_j \in \mathcal{F}$、$u_0 \leq u_j$ かつ $u_j$ が $\mathbb{C}^n$ -容量において $u$ に収束するならば、$j \to \infty$ のとき $(dd^c u_j)^n$ は弱*収束して $(dd^c u)^n$ に収束する。
• 収束はすべてのテスト関数 $h \in \mathcal{E}_0$ に対して成立し、複素ポテンシャル論における標準的双対性により、測度の弱*収束を示すのに十分である。
• 証明は、Monge-Ampère 形式の次数に関する再帰的議論に依存しており、$p$ -形式に対して成立すると仮定して $p+1$ -形式の収束を示している。
• 差 $\int (u_j - u)(dd^c u_j)^p \land \cdots$ の誤差項は、容量に基づく上界関数 $h_N^*$ と切断を用いて制御され、極限で消えることが保証される。
• 重要な推定は、$|I_{j_k}|$、$|II_{j_k}|$、$|III_{j_k}|$ を $\int (-h_N)(dd^c u)^p \land \cdots$ と $\varepsilon \int (dd^c u_0)^p \land \cdots$ の両方の項で抑え、$N \to \infty$ および $\varepsilon \to 0$ のとき両者が消えることを示す。
• 結果は部分列についても安定である：$u_j$ の任意の部分列は、$(dd^c u_j)^n$ が $(dd^c u)^n$ に弱*収束するようなさらに部分列を含む。これにより、完全な収束が証明される。