[論文レビュー] Convergence in distribution norms in the CLT for non identical distributed random variables

Vlad Bally, Lucia Caramellino+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 6, 2016

Random Matrices and Applications参考文献 35被引用数 18

ひとこと要約

本稿は、Doeblin型の正則性を満たす非同一分布の独立確率変数に対して、中心極限定理（CLT）の分布ノルムにおける収束を確立する。Malliavin微積分と部分積分法を用いて、テスト関数の導関数を用いた誤差の明示的評価を導出し、不変性原理、小球確率、および確率的三角多項式の根の個数の期待値への応用を可能にする。主たる貢献は、和分布が密度を持たない場合でさえも、和項の正則性条件により高階導関数を制御することで、分布ノルムにおける改良されたCLT誤差推定を達成することにある。

ABSTRACT

We study the convergence in distribution norms in the Central Limit Theorem for non identical distributed random variables that is $$ \\varepsilon_{n}(f):={\\mathbb{E}}\\Big(f\\Big(\\frac 1{\\sqrt n}\\sum_{i=1}^{n}Z_{i}\\Big)\\Big)-{\\mathbb{E}}\\big(f(G)\\big)\ ightarrow 0 $$ where $Z_{i}$ are centred independent random variables and $G$ is a Gaussian random variable. We also consider local developments (Edgeworth expansion). This kind of results is well understood in the case of smooth test functions $f$. If one deals with measurable and bounded test functions (convergence in total variation distance), a well known theorem due to Prohorov shows that some regularity condition for the law of the random variables $Z_{i}$, $i\\in {\\mathbb{N}}$, on hand is needed. Essentially, one needs that the law of $ Z_{i}$ is locally lower bounded by the Lebesgue measure (Doeblin's condition). This topic is also widely discussed in the literature. Our main contribution is to discuss convergence in distribution norms, that is to replace the test function $f$ by some derivative $\\partial_{\\alpha }f$ and to obtain upper bounds for $\\varepsilon_{n}(\\partial_{\\alpha }f)$ in terms of the infinite norm of $f$. Some applications are also discussed: an invariance principle for the occupation time for random walks, small balls estimates and expected value of the number of roots of trigonometric polynomials with random coefficients.

研究の動機と目的

• 和項が非同一分布で、密度を持たない可能性がある状況において、CLTの分布ノルムにおける収束を確立すること。
• 滑らかでないテスト関数、特に有界可測関数に対して、古典的CLTおよびEdgeworth展開の結果を拡張すること。
• テスト関数の導関数を用いた定量的誤差評価を、その上界ノルムだけでなく、導関数の性質に基づいて提示すること。
• 訪問時間不変性原理、小球確率、および確率的三角多項式の期待根数を含む応用のための枠組みを構築すること。
• 分布ノルムによる誤差制御手法を導入することで、合計変動距離およびエントロピー距離における既存の結果を統一的かつ一般化すること。

提案手法

• 非滑らかなテスト関数に対するCLT誤差を制御するため、抽象的Malliavin微積分と部分積分法を用いる。
• パラメトリックス技法にインspiredされたマコフ半群に対するLindeberg法を適用し、誤差推定を導出する。
• Nummelinの分割法を用いて和項を分解し、Malliavin微積分フレームワークに十分な正則性を保証する。
• 係数をエルミート多項式の線形結合として表現することで、N次のEdgeworth型展開を明示的に導出する。
• テスト関数fをその導関数∂αfに置き換えることで分布ノルムを定義し、誤差εn(∂αf)を‖f‖∞の関数として評価する。
• Doeblinの条件に基づく正則性条件とMalliavin行列の推定により、正規化された和の密度導関数に対する評価を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 和項が非同一分布で、極限分布に原子を持つ可能性がある場合でも、古典的CLT誤差がテスト関数の導関数の関数として評価可能か？
• RQ2 和項がDoeblinの条件を満たすが、絶対連続でない場合に、分布ノルムにおけるCLTの収束速度はどのようになるか？
• RQ3 Malliavin微積分と部分積分法を用いて、非滑らかなテスト関数に対するEdgeworth展開をどのように拡張できるか？
• RQ4 これらの分布ノルム評価が、訪問時間や確率的三角多項式などの確率過程に与える影響は何か？
• RQ5 Doeblin型正則性条件下で、分布ノルム推定から合計変動距離の収束が回復可能か？

主な発見

• Doeblinの条件を満たす非i.i.d.和項に対して、有界テスト関数の導関数に対するCLT誤差がC(Y)/√nで有界であることを証明した。ここでC(Y)は和項のモーメントおよび正則性に依存する。
• N次のEdgeworth展開に対して、誤差はCN / n^{(N+1)/2} ‖f‖_{b_N,∞}で有界であり、係数は明示的にエルミート多項式の組み合わせとして表現される。
• 和項がi.i.d.かつDoeblinの条件を満たす場合、合計変動距離における収束が保証され、Prohorovの定理が非i.i.d.設定へ拡張される。
• 著者らは、分布ノルムにおける誤差制御を用いて、ランダムウォークの訪問時間に対する新しい不変性原理を導出した。
• 小球確率は分布ノルムフレームワークを用いて推定され、その評価は和項の正則性に依存する。
• i.i.d.係数をもつ確率的三角多項式の実根の期待個数は、分布ノルム誤差制御を用いて不変性原理を満たすことが示された。