[論文レビュー] Convergence in distribution of random metric measure spaces: (Lambda-coalescent measure trees)

Andreas Greven, Peter Pfaffelhuber+1 more|ArXiv.org|Sep 28, 2006

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 16被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、モーメント測度と弱収束の技法を用いて、Λコアレスセント測度木から導かれる確率的距離測度空間の分布収束を確立する。この論文は、これらの確率的木における距離の有限次元分布が弱収束し、極限分布に収束することを証明し、確率論および確率過程における連続的ランダム木の研究のための厳密な基盤を提供する。

ABSTRACT

We consider the space of complete and separable metric spaces which are equipped with a probability measure. A notion of convergence is given based on the philosophy that a sequence of metric measure spaces converges if and only if all finite subspaces sampled from these spaces converge. This topology is metrized following Gromov's idea of embedding two metric spaces isometrically into a common metric space combined with the Prohorov metric between probability measures on a fixed metric space. We show that for this topology convergence in distribution follows - provided the sequence is tight - from convergence of all randomly sampled finite subspaces. We give a characterization of tightness based on quantities which are reasonably easy to calculate. Subspaces of particular interest are the space of real trees and of ultra-metric spaces equipped with a probability measure. As an example we characterize convergence in distribution for the (ultra-)metric measure spaces given by the random genealogies of the Lambda-coalescents. We show that the Lambda-coalescent defines an infinite (random) metric measure space if and only if the so-called "dust-free"-property holds.

研究の動機と目的

• Λコアレスセント過程によって生成される確率的距離測度空間の分布収束を調査すること。
• これらの確率的木における距離の有限次元分布の極限的挙動を特徴付けること。
• モーメント測度理論を用いて、基礎となる確率測度の弱収束を分析すること。
• 既存のコアレスセント過程に関する結果を、距離測度空間の設定に拡張すること。
• 連続的ランダム木の研究のための厳密な確率的枠組みを提供すること。

提案手法

• ランダムな根からk個の抽出点までの距離の同時分布を用いて定義されるモーメント測度を使用する。
• Kallenberg (2002) の定理16.16を適用し、モーメント測度と弱収束の関係を確立する。
• 共通の根からの対間距離の同時分布を表現するために、積測度μ⊗k+1を用いる。
• k番目のモーメント測度μ̂Xkがkの増加に伴い収束することを分析する。
• Λコアレスセントの構造に依存して、確率的木の距離を定義する。
• 有限次元分布の弱収束を通じて収束を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Λコアレスセント木に関連する確率的距離測度空間の系列は、分布収束するか？
• RQ2 これらの木における距離の有限次元分布の極限分布は何か？
• RQ3 モーメント測度は、これらの確率的距離測度空間の弱収束をどのように特徴付けることができるか？
• RQ4 根に基づく距離構造は、収束解析においてどのような役割を果たすか？
• RQ5 Kallenbergの理論からのモーメント測度技法を用いて収束を確立できるか？

主な発見

• k番目のモーメント測度μ̂Xkはkの増加に伴い弱収束し、確率的距離測度空間の分布収束を示している。
• 距離の極限分布は、共通の根からの距離の同時分布のモーメント測度μ⊗k+1によって特徴付けられる。
• 定理16.16（Kallenberg, 2002）の適用により、モーメント測度と弱収束の関係が確立され、収束が示された。
• Λコアレスセント測度木における距離の有限次元分布は、明確に定義された極限に収束する。
• この手法は、コアレスセント過程から導かれる確率的距離測度空間の収束を分析する一般枠組みを提供する。
• 結果は、分布的意味で極限的連続的ランダム木構造の存在を確認する。