[論文レビュー] Convergence in variation of solutions of nonlinear Fokker-Planck-Kolmogorov equations to stationary measures

В. И. Богачев, Michael Röckner+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 8, 2018

Stochastic processes and financial applications参考文献 3被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、係数が無限大で任意の成長を示し、解に非線形に依存する有界でない不連続な畳み込みカーネルを伴う非線形Fokker-Planck-Kolmogorov方程式の解が、定常測度へ指数的収束することを示す十分条件を確立する。主な結果は重み付き全 Variation 範囲の境界である：\|W\cdot(\mu_t - \mu)\|_{TV} \leq \alpha_1 e^{-\alpha_2 t}、これはLyapunov型条件と漂移項の連続性仮定のもとで、一意な定常測度への指数的収束を保証する。

ABSTRACT

We study convergence in variation of probability solutions of nonlinear Fokker-Planck-Kolmogorov equations to stationary solutions. We obtain sufficient conditions for the exponential convergence of solutions to the stationary solution in case of coefficients that can have an arbitrary growth at infinity and depend on the solutions through convolutions with unbounded discontinuous kernels. In addition, we study a more difficult case where the nonlinear equation has several stationary solutions and convergence to a stationary solution depends on initial data. Finally, we obtain sufficient conditions for solvability of nonlinear Fokker-Planck-Kolmogorov equations.

研究の動機と目的

• 非線形Fokker-Planck-Kolmogorov方程式の解が定常測度へ全 Variation 範囲ノルムで指数的収束するための十分条件を確立すること。
• 複数の定常解が存在する場合の収束を分析し、初期データおよび平均などの不変量に依存することを示すこと。
• 係数の弱い正則性および非有界性仮定のもとで、非線形Fokker-Planck-Kolmogorov方程式の可解性結果を拡張すること。
• 非有界または成長する重み関数を許容する重み付き全 Variation 範囲ノルムを組み込んだ収束フレームワークを構築すること。

提案手法

• 解の成長と可積分性を制御するため、$ L_\mu V \leq C_1 - C_2 V $ を満たすLyapunov関数$ V $ を使用する。
• 漂移$ b(x,\mu) $ に条件を課す：$ V^{1/2 - \gamma} $ による有界性と、重み付きノルム$ \|\cdot\|_W $ における$ \mu $ に関する連続性。
• $ L^1 $-可積分密度の凸かつコンパクトな部分集合においてSchauderの不動点定理を適用し、$[0,\infty)$ 上での解の存在を証明する。
• 時間に依存するLyapunov関数$ \alpha(t) $ を、$ \int_{\alpha_0}^{\alpha(t)} du / N_1(u) = t $ により定義し、一様なモーメントの有界性を保証する。
• テスト関数を$ C_0^\infty(\mathbb{R}^d) $ にとることで、Fokker-Planck-Kolmogorov方程式の積分的定式化を用い、弱解の性質を保証する。
• 解の半群が重み付き全 Variation 範囲ノルムにおいて収縮することを示し、指数的減衰率$ \alpha_2 $ を得ることで収束を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非線形Fokker-Planck-Kolmogorov方程式の解が全 Variation 範囲ノルムで指数的収束するための条件は何か？
• RQ2 複数の定常解が存在する場合、収束の挙動は初期測度にどのように依存するか？
• RQ3 非有界または不連続な漂移カーネルを伴う非線形Fokker-Planck-Kolmogorov方程式に対して、定常解の存在を保証する条件は何か？
• RQ4 漂移係数が無限大で任意に成長し、かつ解に非線形に依存する畳み込みカーネルを通じて依存する場合、指数的収束を確立できるか？

主な発見

• Lyapunovおよび連続性条件のもとで、重み付き全 Variation 範囲ノルムにおける指数的収束が確立される：$ \|W\cdot(\mu_t - \mu)\|_{TV} \leq \alpha_1 e^{-\alpha_2 t} $、$ \alpha_1, \alpha_2 > 0 $。
• 定常解$ \mu $ は$ \int V \, d\mu \leq C_1 / C_2 $ を満たし、Lyapunov関数$ V $ における可積分性と安定性が保証される。
• 任意の初期測度$ \nu \in \mathcal{P}_V(\mathbb{R}^d) $ に対して、$[0, \infty)$ 上で一意なグローバル解$ \mu_t $ が存在し、すべての$ T > 0 $ に対して$ \sup_{t \in [0,T]} \int V \, d\mu_t < \infty $ が成り立つ。
• 収束は係数の小さな摂動に対して安定ではない。例えば、$ \varepsilon = 1 $ の場合、漂移に小さな定数$ \delta > 0 $ を加えると、定常解の存在が破壊されることがある。
• 複数の定常解が存在する場合（例：Ornstein-Uhlenbeck例の$ \varepsilon = 1 $ 情報）、収束は初期データの不変量（例：平均）に依存する。
• 条件$ \int_0^\infty du / N_1(u) = \infty $ が成り立つと、コーシー問題の可解性が保証され、時間に依存するLyapunov関数$ \alpha(t) $ が全域的に定義される。