[論文レビュー] Convergence in Wasserstein Distance for Empirical Measures of Dirichlet Diffusion Processes on Manifolds

Feng‐Yu Wang|arXiv (Cornell University)|May 19, 2020

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 17被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、境界を有するコンパクトなリーマン多様体上でのディリクレ拡散過程の経験的測度の Wasserstein 距離における収束速度を確立する。期待値の二乗 Wasserstein 距離 $\ mathbb{W}{2}(\mu_t, \mu_0)^2$ は、$d \leq 3$ の場合 $t^{-1}$ の速度で減少し、$d=4$ の場合 $t^{-1}\log t$、$d \geq 5$ の場合 $t^{-2/(d-2)}$ の速度で減少し、生成子 $L = \Delta + \nabla V$ のディリクレ固有値を含む鋭い評価が得られる。収束速度は境界に完全に支持されない初期分布に対して一様であり、境界が凸である場合には定数 $c=1$ が成立する。

ABSTRACT

Let $M$ be a $d$-dimensional connected compact Riemannian manifold with boundary $\partial M$, let $V\in C^2(M)$ such that $μ({ m d} x):={ m e}^{V(x)}{ m d} x$ is a probability measure, and let $X_t$ be the diffusion process generated by $L:=Δ+ abla V$ with $τ:=\inf\{t\ge 0: X_t\in\partial M\}$. Consider the empirical measure $μ_t:=\frac 1 t \int_0^t δ_{X_s}{ m d} s$ under the condition $t

研究の動機と目的

• 境界を有するコンパクトなリーマン多様体上でのディリクレ拡散過程に対する経験的測度 $\mu_t = \frac{1}{t}\int_0^t \delta_{X_s}ds$ の収束速度を分析すること。
• 初期測度 $\mu_0 = \phi_0^2 \mu$ が不変測度であるとき、$t \to \infty$ における $\mathbb{E}^\nu[\mathbb{W}_2(\mu_t, \mu_0)^2 \mid t < \tau]$ の漸近的挙動を特定すること。
• 次元に依存する減衰速度と、$-L$ のディリクレ固有値 $\lambda_m$ で表される鋭い評価を確立すること。ここで $L = \Delta + \nabla V$ である。
• 境界の幾何学的性質、特に凸性が収束速度定数を鋭くすることに果たす役割を調査すること。

提案手法

• 生成子 $L = \Delta + \nabla V$ 及びそのディリクレ固有値 $\lambda_m$ のスペクトル理論を用いる。$\mu_0 = \phi_0^2 \mu$ は第一固有関数 $\phi_0$ に対応する。
• Kantorovich 双対公式と $\mathbb{W}_2^2$ の凸性を用いて、経験的測度と不変測度間の Wasserstein 距離を評価する。
• 到達時間 $\tau = \inf\{t \geq 0 : X_t \in \partial M\}$ での条件付き期待値をとる手法を用い、カップリングおよびモーメント推定により評価を導出する。
• 過程 $X_t^0$ は $L_0 = L + 2\nabla \log \phi_0$ によって生成され、$T \to \infty$ のとき $T < \tau$ の条件下での確率測度の弱収束として得られる。
• 主要な推定では、半群 $P_t^D$ 及びその減衰 $P_t^D 1 \leq c_1 e^{-\lambda_0 t}$ を用い、さらに $\mathbb{E}^\nu[\rho(X_{t_i}, X_s)^2 \mid T < \tau] \leq c(s - t_i)$ のような評価を導出する。
• 経験的測度の離散化 $\mu_N = \frac{1}{N}\sum_{i=1}^N \delta_{X_{t_i}}$ を用いることで、既知の $\mathbb{W}_1$ 評価を適用でき、次元に依存する減衰速度が得られる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 境界を有するコンパクト多様体上でのディリクレ拡散過程に対して、$\mathbb{E}^\nu[\mathbb{W}_2(\mu_t, \mu_0)^2 \mid t < \tau]$ の漸近的減衰速度は何か？
• RQ2 多様体の次元 $d$ は、$\mathbb{W}_2$ 距離における経験的測度の収束速度にどのように影響するか？
• RQ3 $-L$ のディリクレ固有値 $\lambda_m$ を用いて、収束速度の下界および上界を評価できるか？
• RQ4 境界の凸性は、収束速度定数を 1 に鋭くすることに果たす役割は何か？
• RQ5 条件付き経験的測度 $\mu_t^\nu = \mathbb{E}^\nu[\mu_t \mid t < \tau]$ と無条件のものとの間で、$\mathbb{W}_2$ 収束の挙動にどのような差が生じるか？

主な発見

• $d \leq 3$ の場合、$\lim_{t \to \infty} t \mathbb{E}^\nu[\mathbb{W}_2(\mu_t, \mu_0)^2 \mid T < \tau]$ が存在し、$\sum_{m=1}^\infty \frac{2}{(\lambda_m - \lambda_0)^2}$ に等しい。これは有限である。
• 境界 $\partial M$ が凸である場合、収束速度定数は鋭く $c = 1$ となる。よって、極限は正確に $\sum_{m=1}^\infty \frac{2}{(\lambda_m - \lambda_0)^2}$ に等しい。
• $d = 4$ の場合、減衰速度は $\sup_{T \geq t} \mathbb{E}^\nu[\mathbb{W}_2(\mu_t, \mu_0)^2 \mid T < \tau] \leq c t^{-1} \log t$（$c > 0$）を満たす。
• $d \geq 5$ の場合、減衰速度は $\Theta(t^{-2/(d-2)})$ であり、$c^{-1} t^{-2/(d-2)} \leq \mathbb{E}^\nu[\mathbb{W}_2(\mu_t, \mu_0)^2 \mid T < \tau] \leq c t^{-2/(d-2)}$（$c > 1$）を満たす。
• 条件付き期待値が Wasserstein 距離の内側にあるため、条件付き測度 $\mu_t^\nu$ で観察される $t^{-2}$ の速度よりも収束速度が遅い。
• 上界 $\sum_{m=1}^\infty \frac{2}{(\lambda_m - \lambda_0)^2}$ が有限であるのは $d \leq 3$ の場合に限る。これは収束挙動における次元の閾値を説明する。