[論文レビュー] Convergence of a Finite Volume Scheme for a System of Interacting Species with Cross-Diffusion

José A. Carrillo, Francis Filbet+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 12, 2018

Mathematical Biology Tumor Growth参考文献 46被引用数 25

ひとこと要約

本稿では、相互作用する2種の種の系に対して、相互拡散および非局所的相互作用を有する正性を保つ有限体積スキームを提示する。正性に基づく離散エネルギー推定とコンパクト性の確立により、著者らは数値スキームが弱解に収束することを証明し、数値結果により、空間的一階の精度と、特異的または強力な拡散領域でも頑健な挙動を確認している。

ABSTRACT

In this work we present the convergence of a positivity preserving semi-discrete finite volume scheme for a coupled system of two non-local partial differential equations with cross-diffusion. The key to proving the convergence result is to establish positivity in order to obtain a discrete energy estimate to obtain compactness. We numerically observe the convergence to reference solutions with a first order accuracy in space. Moreover we recover segregated stationary states in spite of the regularising effect of the self-diffusion. However, if the self-diffusion or the cross-diffusion is strong enough, mixing occurs while both densities remain continuous.

研究の動機と目的

• 2種の相互作用する種の系に対して、正性を保ちながら質量を保存する数値スキームの開発。
• 非局所的相互作用および非線形拡散が存在する中で、有限体積スキームが弱解に収束することの確立。
• 強力な自己拡散または相互拡散の領域、特に特異的ポテンシャルを含む場合のスキームの挙動の分析。
• 収束速度の数値的妥当性の確認と、分離状態および混合状態を含む定常状態の再現。
• メタ安定クラスタリングやエネルギー減衰ダイナミクスを含む、複雑なパターン形成のシミュレーションにおけるスキームの頑健性の提示。

提案手法

• ノーフラックス境界条件を満たす1次元領域上に、局所的保存を保証する半離散有限体積スキームを構築。
• 密度と相互作用ポテンシャルの畳み込みを含むフラックス定式化により、非線形自己拡散および相互拡散項を組み込む。
• 離散解の正性を強制することで、離散エネルギー推定を導出し、コンパクト性の議論に不可欠な要因を確保。
• 離散エネルギー関数には、相互作用項、内部エネルギー項、拡散項を含み、連続系のエネルギー構造を模倣。
• 離散エネルギー推定と弱収束の議論によりコンパクト性を確立し、極限を弱解として特定。
• 長距離の引力的および短距離の反発的ポテンシャル（ガウス型および二次型を含む）を用いた数値シミュレーションを実施。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非局所的相互作用を有する2種の相互拡散系に対して、正性を保ちながら質量を保存する有限体積スキームを構築可能か？
• RQ2 スキームから導出された離散エネルギー推定は、コンパクト性を保証し、弱解への収束を可能にするか？
• RQ3 スキームの空間的収束速度は何か？強力な拡散または特異的ポテンシャルの条件下での性能は？
• RQ4 相殺する引力的および反発的相互作用が存在する中で、スキームは相分離、混合、およびメタ安定クラスタリングを正確に捉えることができるか？
• RQ5 エネルギーは時間とともにどのように減衰するか？これにより、局所的および非局所的効果の相互作用の理解がどのように深まるか？

主な発見

• 数値実験により、誤差ノルムを用いて、有限体積スキームが空間的一階収束を達成していることが確認された。
• 解の正性が保持されており、これは離散エネルギー推定を導出し、コンパクト性の証明に不可欠である。
• 離散エネルギー推定がスキームのレベルで確立されており、弱極限の特定と弱解への収束の証明が可能となった。
• 数値的シミュレーションにより、正則化自己拡散が存在する場合でさえも、分離した定常状態の形成が成功裏に捉えられた。
• 強力な自己拡散または相互拡散が存在する場合には、両方の密度が連続のまま混合が生じ、分離から均一化への遷移が示された。
• 引力的相互作用の下で、長期的にはエネルギーの減衰が指数関数的であることが観察されたが、この系に対しては解析的証明は得られていない。