[論文レビュー] Convergence of a force-based hybrid method for atomistic and continuum models in three dimension

Jianfeng Lu, Pingbing Ming|arXiv (Cornell University)|Feb 12, 2011

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 31被引用数 19

ひとこと要約

本稿は、三次元における力に基づく原子論的から連続体へのカップリング法の最初の収束結果を確立し、格子間隔が0に近づく際、ハイブリッド解が原子論的解に二次収束することを証明する。解析は、擬似差分作用素を用いた一貫性と線形安定性の組み合わせにより、一般の短距離力ポテンシャルおよび単純な格子構造において最適な収束を保証する。

ABSTRACT

We study a force-based hybrid method that couples atomistic models with nonlinear Cauchy-Born elasticity models. We show that the proposed scheme converges quadratically to the solution of the atomistic model, as the ratio between lattice parameter and the characteristic length scale of the deformation tends to zero. Convergence is established for general short-ranged atomistic potential and for simple lattices in three dimension. The convergence is based on consistency and stability analysis. General tools are developed in the framework of pseudo-difference operators for stability analysis in arbitrary dimension of the multiscale atomistic and continuum coupling methods.

研究の動機と目的

• 三次元における原子論的モデルとカウチ・ボーン連続体モデルをハイブリッドで結合する力に基づくハイブリッド法の収束を確立すること。
• 一次元を超える多次元マルチスケールカップリング法における安定性解析という長年の課題を解決すること。
• 任意の次元において安定性を解析するための一般化されたツールを、擬似差分作用素に基づいて開発すること。
• ポテンシャルおよび格子構造に対する最小限の仮定の下で、ハイブリッド解が原子論的解に二次収束することを証明すること。

提案手法

• 領域の界面で原子論的力とカウチ・ボーン連続体力とを結合する力に基づくハイブリッド法を定式化する。
• エネルギー最小化ではなく力の釣り合い方程式に基づく変分的定式化を採用し、一貫性のある結合によってゴースト力の発生を回避する。
• 三次元におけるマルチスケール構造を扱うために、擬似差分作用素の枠組みを用いて線形化作用素を解析する。
• 擬似差分作用素の正則性推定、線形化スキームの一貫性、連続問題の安定性の組み合わせにより、安定性を確立する。
• ストラング型収束解析を用いて、ハイブリッド解と真の原子論的解との間の誤差を評価する。
• ブロウワーの不動点定理を用いて、原子論的解の近傍で解の存在および局所的一意性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 力に基づく原子論的から連続体へのカップリング法は、三次元において二次収束を達成できるか？
• RQ2 一次元を超える次元におけるマルチスケールカップリングスキームの安定性を解析するための一般的なツールは何か？
• RQ3 一般の短距離力ポテンシャルを有する力に基づくハイブリッド法において、一貫性と安定性を厳密に確立するにはどうすればよいか？
• RQ4 精密な結合設計と解析によって、三次元系におけるゴースト力問題を克服できるか？
• RQ5 格子間隔ε → 0 のとき、ハイブリッド解の収束速度は原子論的解に対してどの程度か？

主な発見

• 格子間隔ε → 0 のとき、力に基づくハイブリッド法は原子論的解に二次収束し、誤差がCε²で抑えられる。
• 一般の短距離二体ポテンシャルおよび三次元における単純なブラーヴェイズ格子に対して収束が確立される。
• 安定性解析は擬似差分作用素を用いて行われ、任意の次元への一般化が可能である。
• 力の釣り合い方程式の残差が二次的に減少することを示すことにより、線形化作用素の一貫性が証明される。
• 解のHessian行列が解点で非退化であるため、ハイブリッド法の解は局所的に一意である。
• 本解析は、特定のハイブリッドモデルに限らず、マルチスケール手法における安定性および収束の一般枠組みを提供する。