[論文レビュー] Convergence of adaptive FEM for some elliptic obstacle problem with inhomogeneous Dirichlet data

Michael Feischl, Marcus Page+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 13, 2012

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ひとこと要約

本稿は、非同次ディリクレ境界値と一般の $ H^2 $ 障害物を有する楕円型障害問題に対して、適応的最低階数有限要素法（AFEM）の収束性を証明する。境界値の振動を制御するための残差に基づく誤差推定器を拡張し、修正されたエネルギー推定器結合を導入することで、非内挿離散空間を前提としても、結合誤差量の収縮性を確立し、収束を保証する。

ABSTRACT

In this work, we show the convergence of adaptive lowest-order FEM (AFEM) for an elliptic obstacle problem with non-homogeneous Dirichlet data, where the obstacle χ is restricted only by χ in H^2(Ω). The adaptive loop is steered by some residual based error estimator introduced in Braess, Carstensen & Hoppe (2007) that is extended to control oscillations of the Dirichlet data, as well. In the spirit of Cascon et al. (2008), we show that a weighted sum of energy error, estimator, and Dirichlet oscillations satisfies a contraction property up to certain vanishing energy contributions. This result extends the analysis of Braess, Carstensen & Hoppe (2007) and Page & Praetorius (2010) to the case of non-homogeneous Dirichlet data as well as certain non-affine obstacles and introduces some energy estimates to overcome the lack of nestedness of the discrete spaces.

研究の動機と目的

• 適応的FEMの収束解析を非同次ディリクレ境界値を有する楕円型障害問題へ拡張すること。
• 非適合なディリクレ境界値近似によって生じる離散有限要素空間の非内挿性の問題に対処すること。
• 一般の $ H^2 $ 障害物（非アフィンの場合を含む）に対しても収束を確立すること。
• 誤差推定器および解析フレームワークにディリクレ境界値の振動を組み込むこと。
• エネルギー誤差、推定器、境界値振動を含む結合誤差量の収縮性を証明すること。

提案手法

• 非同次ディリクレ境界値の振動を制御するように拡張された残差に基づく誤差推定器を用いて、メッシュを適応的に再分割する。
• エネルギー誤差、推定器、ディリクレ振動項を組み合わせた修正誤差量 $ \Delta_\ell $ を導入する。
• エネルギー誤差、推定器、境界値振動の重み付き和を用いて、消える摂動項まで収縮性を確立する。
• 弱い信頼性推定を適用し、$ \varrho_\ell \to 0 $ ならば $ \|u - U_\ell\|_{H^1} \to 0 $ であることを示す。
• 内部ノード性の代わりに推定器の減少性を用いることで、メッシュ再分割戦略に依存しない堅牢な結果を得る。
• 離散的ディリクレ境界値 $ g_\ell $ を持つ連続解 $ u\_\ell $ を導入し、離散空間の非内挿性を回避する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非同次ディリクレ境界値と一般の $ H^2 $ 障害物を有する楕円型障害問題に対して、適応的FEMは収束するか？
• RQ2 障害問題の事後誤差推定において、ディリクレ境界値の振動をどのように制御できるか？
• RQ3 離散空間が非内挿である場合に、結合誤差量の収縮性は成立するか？
• RQ4 収束証明をアフィン障害物や同次ディリクレ条件の範囲を越えて拡張可能か？
• RQ5 非アフィンおよび非同次ケースにおいて、適応的FEMは収束速度の観点で最適か？

主な発見

• 非同次ディリクレ境界値と $ H^2 $ 障害物を有する楕円型障害問題に対して、適応的FEMは離散空間が内挿でない場合でも収束する。
• 結合誤差量 $ \Delta_\ell $ は、$ 0 < \kappa < 1 $、$ \alpha_\ell \to 0 $ を満たす収縮性 $ \Delta_{\ell+1} \leq \kappa \Delta_\ell + \alpha_\ell $ を満たす。
• 数値実験により、エネルギー誤差の最適収束率 $ \mathcal{O}(N^{-1/2}) $ とディリクレ振動の $ \mathcal{O}(N^{-3/4}) $ が確認された。
• 推定器 $ \varrho_\ell $ は信頼性と有効性を両立しており、$ \|u - U_\ell\|_{H^1} \simeq \varrho_\ell $ であることが数値結果の平行曲線から裏付けられた。
• 適応的メッシュ再分割は均一再分割を上回り、特にコーナー特異点において優れた性能を示し、適応パrameter $ \theta \in \{0.4, 0.6, 0.8\} $ の値に関わらず最適収束率を達成した。
• メッシュ再分割は、離散解が障害物に接触しない非活性領域に集中し、期待通りの挙動を示した。