[論文レビュー] Convergence of adaptive finite element methods for eigenvalue problems

Eduardo M. Garau, Pedro Morín+1 more|ArXiv.org|Mar 4, 2008

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 13被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、任意の次数のラグランジュ要素を用いて、2階楕円型固有値問題に対する適応型有限要素法の収束を証明する。最小限のメッシュ・リファインメント、任意の初期メッシュ、およびすべての標準的マーキング戦略のもとで、事前的なメッシュサイズの仮定を必要とせず、内部節点性を満たす必要もなく、正しい固有値および固有関数への収束を確立する。

ABSTRACT

In this article we prove convergence of adaptive finite element methods for second order elliptic eigenvalue problems. We consider Lagrange finite elements of any degree and prove convergence for simple as well as multiple eigenvalues under a minimal refinement of marked elements, for all reasonable marking strategies, and starting from any initial triangulation.

研究の動機と目的

• 2階楕円型固有値問題に対する適応型有限要素法の収束を確立すること。
• 事前的なメッシュサイズの仮定を不要とし、任意の初期三角形分割から収束を可能とすること。
• 最小限のリファインメント（マーキングされた各要素に対して1回の二等分）のもとで、内部節点性を要求しない収束を証明すること。
• 単一固有値および重解固有値の両方において、正しい離散固有値および固有関数への収束を保証すること。
• 非退化性条件のもとで、非ドーフラー型マーキングを含むすべての標準的マーキング戦略に対して収束を検証すること。

提案手法

• 適応的ループにおけるリファインメントを導くために、残差型の後験的誤差推定器を用いる：解法 → 評価 → マーキング → リファインメント。
• マーキングされた要素の誤差推定値が未マーキングのものよりも大きいという一般化されたマーキング戦略を適用し、条件 (2.17) を満たす。
• 任意の多項式次数 ℓ に対するラグランジュ要素を用いた非適合型有限要素フレームワークを採用する。
• 粗いメッシュにおいて鋭い上界が得られない場合でも、グローバル誤差推定器がゼロに収束することを示す、新しい議論を導入する。
• 正しい固有ペアへの収束を保証するため、非退化性仮定を導入し、低次の固有値への誤った収束を防ぐ。
• 固有関数の正則性と多項式構造に基づく背理法を用いて、L∞-ノルムにおけるメッシュサイズのゼロへの収束を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般の2階楕円型固有値問題に対して、細かい初期メッシュを必要とせず、適応型有限要素法が正しい固有値および固有関数に収束するか？
• RQ2 最小限のリファインメント（例：マーキングされた各要素に対して1回の二等分）かつ内部節点性を満たさない場合でも収束は成立するか？
• RQ3 事前的なメッシュサイズの仮定なしに、非ドーフラー型マーキングを含むすべての標準的マーキング戦略に対して収束が保証されるか？
• RQ4 固有関数および係数に関する非退化性条件のもとで、j番目の離散固有値への収束が可能か？
• RQ5 粗いメッシュにおいて後験的誤差推定器が鋭い上界を持たない場合、どのように収束を証明できるか？

主な発見

• 離散固有値 λₖ は連続固有値 λ に収束し、離散固有関数は H¹₀(Ω) 上で固有空間 M(λ) に収束する。
• メッシュが 𝒜 の不連続性を捉えている限り、粗い初期三角形分割であっても収束が成立する。
• メッシュサイズ関数 ‖hₖ‖_{L∞(Ω)} は k → ∞ のときゼロに収束し、極限において一様なリファインメントが保証される。
• 非退化性仮定が成立すれば、方法はj番目の固有値に収束する — つまり、Ω の任意の開部分集合上で固有関数が次数 ≤ℓ の多項式でない。
• マーキングされた要素の誤差推定値が大きいという条件下で、非ドーフラー型マーキングを含むすべての合理的なマーキング戦略に対して収束がロバストである。
• 粗いメッシュにおいて鋭い上界が得られない場合の処理を可能とする、新たな議論を導入しており、線形問題に対する既存の収束結果とは区別される。