[論文レビュー] Convergence of clock processes on infinite graphs and aging in Bouchaud's asymmetric trap model on ${\Bbb Z}^d$

Véronique Gayrard, Adéla Švejda|arXiv (Cornell University)|Sep 12, 2013

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 3被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、DurrettとResnickの手法を用いて、無限グラフ上の確率的環境における時計過程の収束に関する一般的基準を確立し、$ℚ^d$ 上のBouchaudの非対称トラップモデルがすべての$d \geq 2$ に対して正規老化を示すことを証明している。2時間相関関数はアーサイン法則に収束する。分数次元力学過程についても老化が示された。

ABSTRACT

Using a method developed by Durrett and Resnick [22] we establish general criteria for the convergence of properly rescaled clock processes of random dynamics in random environments on infinite graphs. This complements the results of [26], [19], and [20]: put together these results provide a unified framework for proving convergence of clock processes. As a first application we prove that Bouchaud's asymmetric trap model on ${\Bbb Z}^d$ exhibits a normal aging behavior for all $d\geq 2$. Namely, we show that certain two-time correlation functions, among which the classical probability to find the process at the same site at two time points, converge, as the age of the process diverges, to the distribution function of the arcsine law. As a byproduct we prove that the fractional kinetics process ages.

研究の動機と目的

• 無限グラフ上の確率的環境における時計過程の一般的収束基準の開発。
• 既存のトラップモデルにおける老化に関する結果を、すべての次元$d \geq 2$ にまで拡張すること。
• 確率的収束に代えて、ほとんど確実な収束を示す時計過程の確立。
• 分数次元力学過程が老化挙動を示すことを示すこと。
• 時計過程の収束を通じて、老化と異常拡散の理論的枠組みを統合すること。

提案手法

• Durrett-Resnickの手法を従属確率変数に適応し、無限グラフにおける時計過程の収束基準を導出。
• 確率的環境における逆保持時間と遷移率に基づく離散的および連続的時計過程の分析。
• ブラウン運動とのカップリングおよび抜出し時間の推定を用いて、最初の通過時間と帰還確率を制御。
• 強マルコフ性とグリーン関数のモーメントバウンドを用いて、到達時間の尾確率を制御。
• $d=2$ および $d \geq 3$ における$ℚ^d$ 上のスケール依存推定を用い、対数的およびべき乗則的減衰の違いを明確に。
• 部分ガウス分布および部分ワイブル尾分布推定を用いて、サイトへの訪問回数のモーメントバウンドを確立。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 無限グラフ上のマコフ跳躍過程の時計過程が、どのような条件下で安定劣化子に収束するか？
• RQ2 Bouchaudの非対称トラップモデルは、$ℚ^d$ 上ですべての$d \geq 2$ に対して正規老化を示すか？
• RQ3 2時間相関関数がアーサイン法則に収束することは、確率的ではなくほとんど確実に示せるか？
• RQ4 トラップモデルから導かれる分数次元力学過程は、老化挙動を示すか？
• RQ5 最初の到達時間およびサイト訪問回数の漸近的挙動は、次元$d$ にどのように依存するか？

主な発見

• すべての$d \geq 2$ に対して、$ℚ^d$ 上のBouchaudの非対称トラップモデルの時計過程は、適切なスケーリングの後、ほとんど確実に安定劣化子に収束する。
• 同じサイトに2つの時刻で戻る確率の2時間相関関数は、プロセスの老化が進むにつれてアーサイン法則に収束する。
• 古典的な老化挙動（アーサイン分布への収束）は、確率的ではなく、ほとんど確実に成立する。
• モデルから導かれる分数次元力学過程は老化を示すことが示され、その異常拡散的性質が確認された。
• グリーン関数推定と抜出し時間の指数的尾部制御を用いて、サイトへの訪問回数のモーメントバウンドが確立された。
• $d=2$ では、グリーン関数および到達時間推定における対数的補正項が、尾の挙動を制御し収束を保証するために不可欠である。