[論文レビュー] Convergence of densities of some functionals of Gaussian processes

Yaozhong Hu, Fei Lu+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 27, 2013

Probability and Risk Models参考文献 31被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、マルヤヴィン微積分とシュタイン法を用いて、ガウス過程の関数的密度の正規密度への一様収束を確立する。$q$ 階ウィーナー混合空間に属する多重ストキャスティック積分の密度と正規密度との一様距離に対する明示的な上界を、マルヤヴィン微分の負のモーメントを含む非退化性条件のもとで導出する。その上界は $\sqrt{\mathbb{E}[F^4] - 3\sigma^4}$ に比例する。

ABSTRACT

The aim of this paper is to establish the uniform convergence of the densities of a sequence of random variables, which are functionals of an underlying Gaussian process, to a normal density. Precise estimates for the uniform distance are derived by using the techniques of Malliavin calculus, combined with Stein's method for normal approximation. We need to assume some non-degeneracy conditions. First, the study is focused on random variables in a fixed Wiener chaos, and later, the results are extended to the uniform convergence of the derivatives of the densities and to the case of random vectors in some fixed chaos, which are uniformly non-degenerate in the sense of Malliavin calculus. Explicit upper bounds for the uniform norm are obtained for random variables in the second Wiener chaos, and an application to the convergence of densities of the least square estimator for the drift parameter in Ornstein-Uhlenbeck processes is discussed.

研究の動機と目的

• ガウス過程の関数的列の密度が正規密度に一様収束することを確立すること。
• 固定されたウィーナー混合空間に属する確率変数の密度と正規密度との一様距離に対する明示的・定量的な上界を導出すること。
• 密度の高階導関数およびマルヤヴィン非退化性を満たすウィーナー混合空間内の確率ベクトルに対し、解析を拡張すること。
• オルンシュタイン＝ウーレンベック過程におけるパrameter推定、特に最小二乗推定量への応用。

提案手法

• 積分 by parts を用いて、マルヤヴィン微積分を用いて多重ストキャスティック積分 $F = I_q(f)$ の密度を表現する：$f_F(x) = \mathbb{E}[\mathbf{1}_{\{F>x\}} q\|DF\|_{\mathfrak{H}}^{-2}F] - \mathbb{E}[\mathbf{1}_{\{F>x\}} \langle DF, D(\|DF\|_{\mathfrak{H}}^{-2}) \rangle_{\mathfrak{H}}]$。
• シュタイン法を用いて、正規近似誤差を制御する差 $|\mathbb{E}[\mathbf{1}_{\{F>x\}}F] - \mathbb{E}[\mathbf{1}_{\{N>x\}}N]|$ を推定する。
• ホルダーの不等式と、$\mathbb{E}[\|DF\|_{\mathfrak{H}}^{-6}] < \infty$ を仮定したもとでの、$\|DF\|_{\mathfrak{H}}^{-2}$ の反復導関数のモーメント推定を用いる。
• $\mathbb{E}[\|DF\|_{\mathfrak{H}}^{-\beta}] < \infty$ を $\beta > 6m + 6(\lfloor m/2 \rfloor \vee 1)$ として満たす条件のもとで、密度の $m$ 階導関数の上界を導出する。
• ベクトル値関数的を取り扱うために、コンパクト性の議論と逆密度 $\gamma_F^{-1}$ のソボレフノルム推定を用いる。
• 積分 by parts 公式と $D_u^k \delta_u$ および $w = \|DF\|_{\mathfrak{H}}^2$ を含むマルヤヴィン微積分の恒等式を組み合わせ、高階導関数を制御する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 多重ストキャスティック積分が $q$ 階ウィーナー混合空間に属するとき、その密度が正規密度に一様収束する条件は何か？
• RQ2 ガウス過程の関数的の密度と正規密度との一様距離に対して、明示的な定量的上界を導出できるか？
• RQ3 上界は、関数的の四次モーメントとマルヤヴィン微分の負のモーメントにどのように依存するか？
• RQ4 収束結果は、密度の高階導関数およびウィーナー混合空間内の確率ベクトルへと拡張可能か？
• RQ5 これらの上界は、オルンシュタイン＝ウーレンベック過程における最小二乗推定量などの統計的推定問題における密度収束にどのような意味を持つのか？

主な発見

• 確率変数 $F = I_q(f)$ が $q$ 階ウィーナー混合空間に属し、$\mathbb{E}[F^2] = \sigma^2$ かつ $\mathbb{E}[\|DF\|_{\mathfrak{H}}^{-6}] < \infty$ を満たすとき、その密度 $f_F$ と正規密度 $\phi$ の一様距離は、$\sup_x |f_F(x) - \phi(x)| \leq C \sqrt{\mathbb{E}[F^4] - 3\sigma^4}$ を満たす。ここで $C$ は $q$、$\sigma$、および $\|DF\|_{\mathfrak{H}}$ の六次モーメントの負の部分に依存する。
• 上界は、$\sqrt{\mathrm{Var}(\|DF\|_{\mathfrak{H}}^2)}$ を用いて同値に表現可能であり、収束がマルヤヴィン微分ノルムの分散にどのように関連するかを示す。
• 密度の $m$ 階導関数に対しては、$\mathbb{E}[\|DF\|_{\mathfrak{H}}^{-\beta}] < \infty$ かつ $\beta > 6m + 6(\lfloor m/2 \rfloor \vee 1)$ を満たす条件のもとで、一様上界が得られ、収束の滑らかさが保証される。
• マルヤヴィン意味で一様非退化であるウィーナー混合空間内の確率ベクトルに対しても、結果は拡張可能であり、逆密度のソボレフノルムを用いて上界が導出される。
• 第二ウィーナー混合空間において、密度差のノルムに対する明示的な上界が導出され、非ガウス的関数的に対する定量的推定が可能になる。
• オルンシュタイン＝ウーレンベック過程における漂移パrameterの最小二乗推定量への応用が提示され、同じモーメント条件のもとで推定量の密度が正規分布に一様収束することが示された。