[論文レビュー] Convergence of diffusions and their discretizations: from continuous to discrete processes and back

Valentin De Bortoli, Alain Durmus|arXiv (Cornell University)|Apr 22, 2019

Statistical Methods and Inference参考文献 7被引用数 14

ひとこと要約

本稿では、重み付き全 Variation メトリクスにおける明示的な最小化条件およびフォスター＝ライアプノフのドリフト条件を用いて、関数的自己回帰モデルの新たな定量的収束バウンドを確立する。これらの結果を、単位共分散行列を有する拡散過程のオイラー＝マルヤム過程への適用により、曲率仮定の下で改善された幾何的収束速度を導出し、ステップサイズをゼロに近づける極限によって、連続時間の拡散過程へと拡張する。

ABSTRACT

In this paper, we establish new quantitative convergence bounds for a class of functional autoregressive models in weighted total variation metrics. To derive our results, we show that under mild assumptions, explicit minorization and Foster-Lyapunov drift conditions hold. The main applications and consequences of the bounds we obtain concern the geometric convergence of Euler-Maruyama discretizations of diffusions with identity covariance matrix. Second, as a corollary, we provide a new approach to establish quantitative convergence of these diffusion processes by applying our conclusions in the discrete-time setting to a well-suited sequence of discretizations whose associated stepsizes decrease towards zero.

研究の動機と目的

• 重み付き全 Variation メトリクスにおける関数的自己回帰モデルのクラスに対して、明示的な定量的収束バウンドを導出すること。
• やや弱い仮定の下で、明示的な最小化条件およびフォスター＝ライアプノフのドリフト条件がこれらのモデルに対して成り立つことを確立すること。
• これらのバウンドを、単位共分散行列を有する拡散過程のオイラー＝マルヤム過程への適用に用い、既存の収束速度を改善すること。
• 離散時間の収束結果が、ステップサイズをゼロに近づけることによって、連続時間の拡散過程への定量的収束を確立する方法を示すこと。
• 段階的なステップサイズを小さくする離散化系列を活用することで、拡散過程の収束を定量的に評価する新たなアプローチを提供すること。

提案手法

• 繰り返し適用されたマルコフカップリングカーネルを用いて、関数的自己回帰モデルの鋭い最小化条件を導出する。
• ドリフトの曲率仮定の下で、リャプノフ汎関数を用いてフォスター＝ライアプノフのドリフト条件を確立する。
• 組み合わせた最小化条件およびドリフト条件を用いて、重み付き全 Variation 範囲における幾何的収束を導出する。
• ステップサイズを小さくするオイラー＝マルヤム過程の系列を構築し、連続拡散過程を近似する。
• 離散収束速度の極限を用いて、連続拡散過程の収束をバウンドする。
• パラメータ $γ$, $λ$, $A$, および $R$ を用いた文脈において、$ρ_c$-減衰率の明示的定数を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 関数的自己回帰モデルに対して、定量的収束バウンドを可能にする明示的な最小化条件を導出できるか？
• RQ2 曲率仮定の下で、単位共分散行列を有する拡散過程のオイラー＝マルヤム過程の幾何的収束速度は何か？
• RQ3 離散時間の収束結果をどのようにして連続時間の拡散過程の定量的収束を確立するために用いることができるか？
• RQ4 収束速度が $ρ_c$, $ρ_{\bar{\gamma},c}$, および $ρ_b$ のようなパラメータにどのように依存するか？
• RQ5 重み付き全 Variation における収束バウンドは、[34] と比較してどのように異なるか？

主な発見

• 本稿では、やや弱い仮定の下で、オイラー＝マルヤム過程の重み付き全 Variation 範囲における幾何的収束を確立し、[34] におけるレートを改善している。
• 繰り返し適用されたマルコフカップリングを用いて、関数的自己回帰モデルの定量的バウンドを可能にする明示的な最小化条件が導出された。
• 条件 B4 の下で、収束率 $ρ_c$ は $\log^{-1}(\rho_c^{-1}) \leq \left[2(1 + \mathtt{m}_3^+(1+R)/4 + \log(1+2A) + (1+4R^2)\mathtt{m}_3^+)\right] / \left[\mathtt{m}_3^+ \mathbf{\Phi}(-1/2)\right]$ を満たす。
• 条件 B3($\mathtt{m}$) の下で $ρ_b$ が負の場合、$-\mathtt{m}R^2$ に指数的依存性が現れ、より負の $ρ_b$ に対してはより速い減衰を示す。
• ステップサイズ $\gamma \to 0$ のときの離散収束速度の極限は、連続拡散過程の有効なバウンドをもたらし、離散的および連続的設定の間の橋渡しを確立する。
• $\bar{\gamma} \to 0$ のとき、定数 $D_{\bar{\gamma},1,c}$, $D_{\bar{\gamma},2,c}$, $C_{\bar{\gamma},c}$, $\lambda_{\bar{\gamma},c}$, および $\rho_{\bar{\gamma},c}$ は有限の極限に収束し、連続極限における安定性が保証される。