[論文レビュー] Convergence of Kähler-Ricci flow on Fano manifolds, II

Gang Tian, Xiaohua Zhu|arXiv (Cornell University)|Feb 23, 2011

Geometry and complex manifolds参考文献 14被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、先行研究で用いられたモーザー＝トゥルディンガー型不等式を避けるために、ペレラのW汎関数を用いて、ファノ多様体上のケーラー＝リッチ流れの収束についての別証明を提示する。さらに、流れが同じケーラー類内のある初期ケーラー計量に対して収束する限り、収束が初期計量の選び方に依存しないことを示し、初期データの変動に対して収束性が安定であることを確立する。

ABSTRACT

In this paper, we give an alternative proof for the convergence of Kähler-Ricci flow on a Fano mnaifold $(M,J)$. This proof differs from that in [TZ3]. Moreover, we generalize the main theorem of [TZ3] to the case that $(M,J)$ may not admit any Kähler-Einstein metrics.

研究の動機と目的

• モーザー＝トゥルディンガー型不等式の使用を回避して、ファノ多様体上のケーラー＝リッチ流れがケーラー＝アインシュタイン計量に収束することの別証明を提供すること。
• 収束が少なくとも1つの初期ケーラー計量に対して成立する限り、ケーラー類内での初期計量の選択に依存しない形で、収束結果を一般化すること。
• 流れが同じケーラー類内の初期ケーラー計量の選び方に依存しない収束を確立すること。ただし、ある計量に対して収束が成立することが前提である。
• MabuchiのKエネルギーの下界から導かれる推移的推定を用いて、W汎関数に関連するf_t関数の漸近的挙動を分析すること。

提案手法

• ペレラのW汎関数を用いて、ファノ多様体上のケーラー＝リッチ流れの長期的挙動を研究する。
• 進化した計量g_tにおけるW汎関数の最小化関数f_tの漸近的推定を用いる。
• ケーラーポテンシャル空間上でのMabuchiのKエネルギーの一様下界に依存し、安定性と収束を保証する。
• 重み付きPoincaré不等式と2階方程式に対する楕円型L^∞推定を用いて、f_t関数のC^0推定を適用する。
• 連続性法を用い、流れが収束する初期計量の集合Iを定義し、Iが開かつ閉であることを証明する。
• Kエネルギーが下から有界であることに着目し、任意の極限計量が微分同相写像を除いてケーラー＝アインシュタインでなければならないことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ファノ多様体上のケーラー＝リッチ流れがケーラー＝アインシュタイン計量に収束することを、モーザー＝トゥルディンガー型不等式に依存せずに証明できるか？
• RQ2 ケーラー＝リッチ流れの収束は、同じケーラー類2πc₁(M) 内の初期ケーラー計量の選び方に依存するか？
• RQ3 多様体が初期にケーラー＝アインシュタイン計量をもたない場合に、どのような条件下でケーラー＝リッチ流れがケーラー＝アインシュタイン計量に収束するか？
• RQ4 W汎関数に関連する最小化関数f_tは流れに沿ってどのように漸近的に振る舞い、一様に有界とみなせるか？
• RQ5 流れが収束する初期計量の集合が、開かつ閉であることを示せるか。これにより、ケーラー類内すべての初期計量に対してグローバル収束が保証されるか？

主な発見

• ファノ多様体がケーラー＝アインシュタイン計量をもつ限り、初期計量が2πc₁(M) に属する任意の計量に対して、ケーラー＝リッチ流れはC^∞位相でケーラー＝アインシュタイン計量に収束する。
• 収束はホロモーラル変換を除いて指数的である。これは、初期計量の微小な摂動に対しても流れの安定性を確認する。
• 収束は初期ケーラー計量の選び方に依存しない。すなわち、同じケーラー類内のある計量に対して流れが収束する限り、すべての計量に対して収束する。
• W汎関数に関連するf_t関数はL^∞で一様に有界であり、これは流れの長期的挙動を制御するために不可欠である。
• Kエネルギーが下から有界であることから、流れの任意の極限計量は微分同相写像を除いてケーラー＝アインシュタイン計量でなければならない。
• 流れが収束する初期計量の集合Iは開かつ閉であるため、ケーラー類内すべての初期計量に対して収束がグローバルに成立する。