[論文レビュー] Convergence of local supermartingales and Novikov-Kazamaki type conditions for processes with jumps

Martin Larsson, Johannes Ruf|arXiv (Cornell University)|Nov 23, 2014

Stochastic processes and financial applications参考文献 43被引用数 19

ひとこと要約

この論文は、拡張局所可積分性と予測可能特性を用いて、ジャンプを伴う局所上martingaleのほとんど確実収束の必要十分条件を確立する。ジャンプ付き非負局所martingaleのmartingale性に関するNovikov-Kazamaki型条件の新しい証明を提供し、収束を確率的指数とFöllmer測度の性質に関連付ける。

ABSTRACT

We characterize the event of convergence of a local supermartingale. Conditions are given in terms of its predictable characteristics and quadratic variation. The notion of extended local integrability plays a key role. We then apply these characterizations to provide a novel proof for the sufficiency and necessity of Novikov-Kazamaki type conditions for the martingale property of nonnegative local martingales with jumps.

研究の動機と目的

• 予測可能特性と二次変動を用いて、ジャンプ付き局所上martingaleのほとんど確実収束を特徴付ける。
• パスワイズな不規則性を制御するため、拡張局所可積分性の概念を導入・適用する。
• 非負局所martingaleにジャンプが存在する場合の、uniform可積分性に関するNovikov-Kazamaki型条件の必要性と十分性の新しい証明を提供する。
• 測度変換の文脈において、収束行動を確率的指数とFöllmer測度フレームワークに関連付ける。
• 連続時間martingale収束結果を、ジャンプを含む過程へ一般化するための、主要な構造的条件を同定する。

提案手法

• 著者たちは、局所上martingaleにおけるジャンプ行動を制御するための主要な条件として、拡張局所可積分性を用いる。
• 特にジャンプ計数測度と補償器に注目し、予測可能特性と二次変動を用いて収束を分析する。
• 証明技法には、確率的指数が爆発する新たな確率測度（Föllmer測度）を構成する手法を用い、収束経路の分析を可能にする。
• 元の確率空間から標準的空間への可測写像Φを構成し、停止時刻とオプショナル過程を保存する。
• 単調クラスの議論に依拠し、有限次元分布を特定するための関数族による測度の決定性を用いる。
• 新たなフィルトレーションHと関連する過程の構成により、変換された過程が予測可能かつ適応的であることを保証し、martingale理論の適用を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ジャンプ付き局所上martingaleがほとんど確実に収束する条件は何か？
• RQ2 ジャンプ過程の文脈において、拡張局所可積分性は、古典的な局所可積分性の概念をどのように精緻化するか？
• RQ3 局所上martingaleの収束とその確率的指数の可積分性の間の正確な関係は何か？
• RQ4 非負局所martingaleにジャンプが存在する場合、Novikov-Kazamaki条件がmartingale性に必要かつ十分であることをどのように証明できるか？
• RQ5 Föllmer測度フレームワークは、確率的指数の収束および爆発行動をどのように特徴付けるのを助けるか？

主な発見

• 局所上martingaleのほとんど確実収束の事象は、特にジャンプ計数測度の補償器にかかわる、予測可能特性と二次変動に関する条件によって特徴付けられる。
• 拡張局所可積分性は、ジャンプが存在する場合でも局所上martingaleの極限がほとんど確実に存在することを保証する必要十分条件であると特定された。
• 本論文は、Föllmer測度フレームワークを用いて、非負局所martingaleにジャンプが存在する場合のuniform可積分性に関するNovikov-Kazamaki型条件の必要性と十分性の新しい証明を提供する。
• ジャンプ付き局所martingaleの確率的指数がuniform可積分martingaleであるための必要十分条件は、指数局所martingaleが有界停止時刻におけるsupremumを含むモーメント条件を満たすことである。
• 可測写像Φによる標準的空間の構成は、停止時刻とオプショナル過程を含む、本質的な確率的構造を保存する。これにより、収束性の性質の移行が可能になる。
• 適切な正則性条件の下で、局所上martingaleの収束は、その二次変動の有限性と補償器の拡張局所可積分性の両立と同値であることが確立された。