[論文レビュー] Convergence of Nekrasov instanton sum with adjoint matter

Bruno Le Floch|arXiv (Cornell University)|Feb 23, 2026

Algebraic structures and combinatorial models被引用数 0

ひとこと要約

4d N=2* U(N) 理論の Nekrasov instanton 総和の絶対収束半径が一般パラメータ下で 1 であることを証明し、b^2 = ε1/ε2 の整数性特性が収束に与える影響を分析する。

ABSTRACT

The Nekrasov instanton partition function of the 4d $\mathcal{N}=2^*$ $U(N)$ gauge theory (a mass deformation of 4d $\mathcal{N}=4$ super-Yang-Mills theory), which is a generating series of equivariant integrals over instanton moduli spaces, is given by a sum over colored partitions weighted by a counting parameter $\mathfrak{q}$. This note proves convergence of the series in the unit disk $|\mathfrak{q}|<1$ for generic parameters. Specifically, the absolute convergence radius of this sum is determined, assuming that mass and Coulomb branch parameters avoid some lattice. If the ratio $b^2=ε_1/ε_2$ of equivariant parameters is in $\mathbb{C}\setminus[0,+\infty)$, the radius is $1$, as expected. If $b^2$ is non-negative, three cases arise: the radius is finite if $b^2$ has finite exponential type (a generalization of Brjuno numbers), namely there exists $C>0$ such that $|b^2-p/q|>\exp(-Cq)$ for all integers $p,q eq 0$; the series diverges if $b^2$ is super-exponentially well approximable by rationals; and if $b^2$ is rational some terms are singular. The AGT correspondence translates these results to convergence of torus one-point conformal blocks of the Virasoro and $W_N$ algebras with non-real $b$, within the unit disk. For the Virasoro algebra this corresponds to a central charge in $\mathbb{C}\setminus[25,+\infty)$.

研究の動機と目的

• adjoint mass m を持つ 4d N=2* U(N) の Nekrasov instanton 総和の絶対収束半径を確立する。
• 収束半径が比 b^2 = ε1/ε2 によってどのように、またパラメータの格子構造に対してどのように依存するかを決定する。
• 一般的でない場合（有理/無理の b^2）を特徴づけつつ、R_abs = 1 となる条件を特定する。
• Nekrasov 総和の収束を AGT 対応を介してトーラス上の1点共形ブロックへ関連づける。
• 非実数の b を含む Virasoro および W_N 共形ブロックと関連中心 charges に対する含意を明確にする。

提案手法

• インスタントン分割関数を Y の N-tuple の和として Z_Y を重み付きで表現する。
• 絶対 Nekrasov 総和とその収束半径 R_abs を liminf_Y |Z_Y|^{-1/|Y|} によって定義する（付録の議論）。
• Z_Y が指数的に減衰しない Y の列を構成して R_abs ≤ 1 を示す上界を導出する。
• Z_Y の分母を境界づけ、Z_{IJ} 因子の成長を追跡して R_abs の詳細な下限を与える。
• 非一般的な場合を区別する（b^2 ∈ C igr[0,+∞)）と、非実数・負・正の有理的な b^2 の領域を分析する。
• b^2 の算術的性質を連分数展開や Brjuno 型の指数型概念と結びつけて収束へと結びつける。
• AGT によってトーラス1点 Virasoro および W_N 共形ブロックの収束性へ結果を翻訳する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 N=2^* の U(N) に対する adjoint mass m およびパラメータ ε1, ε2 を持つ Nekrasov instanton 総和の絶対収束半径 R_abs はいくらか。
• RQ2 R_abs は比 b^2 = ε1/ε2 にどのように依存し、収束を支配する b^2 の整数性の性質（有限/無限の指数型、 有理/無理など）は何か。
• RQ3 質量とクーロンパラメータに関する一般性条件の下で、非実数の b^2 に対して R_abs が 1 になるか、そうでない場合の境界はどうなるか。
• RQ4 Nekrasov 総和の収束性と AGT 対応、Virасoro および W_N 代数のトーラス1点共形ブロックの収束との関係はどうか。

主な発見

• 絶対収束半径は b^2 ∈ C igr[0,+∞) に対して R_abs = 1。
• b^2 が無理数で正の場合、R_abs は指数型の上界 B_sup(b^2) によって下から評価され、指数型が有限なら上界、無限なら R_abs = 0。
• b^2 が正の有理数の場合、いくつかの項 Z_Y が特異となり和が定義不能になる。
• 非実数の b^2 の場合、分母の正の下界により Z_Y の基底的でなく準指数的成長が生じ、従って R_abs ≥ 1、同時に R_abs ≤ 1 から R_abs = 1。
• b^2 < 0 の場合も非実数ケースと類似の解析となり、前述の一般性仮定の下に同じ R_abs = 1 を得る。
• AGT の枠組みでは、これらの収束結果は Virasoro および W_N 代数の共形ブロックのユニットディスク内収束へと実現される（質量とクーロンパラメータが一般的である場合）。