[論文レビュー] Convergence of Newton's method in shape optimisation via approximate normal functions

Kevin Sturm|arXiv (Cornell University)|Aug 9, 2016

Advanced Numerical Analysis Techniques参考文献 36被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、ミシェレッティ計量群に関連する商空間の接空間を離散化するために近似法線関数を用いた形状最適化のための超線形収束性を示すニュートン法を提案する。ドメイン形状ヘッセ行列と再現核を活用することで、定常点付近での収束が効率的になり、数値的検証により勾配法よりも優れた性能を示した。

ABSTRACT

In this paper we propose a Newton method for shape functions defined on an image set generated by the (Micheletti) metric group. We review basic properties of the metric group and a quotient associated with the metric group and a fixed domain. Taking into account the special structure of the second shape derivative and its symmetric part allows us to distinguish between two Hessians, the domain shape Hessian and the boundary shape Hessian. Using the domain Hessian we define a Newton method on the metric group by discretising the tangent space of the quotient via approximate normal functions using reproducing kernels. Under suitable assumptions we are able to show superlinear convergences of the Newton iterations and additionally convergence of the shapes in the metric group. Finally we verify our findings in a number of numerical experiments including a thorough numerical study of the impact of the discretisation on the convergence speed.

研究の動機と目的

• 無限次元設定において超線形収束を達成する形状最適化のためのニュートン法を開発すること。
• 計量群上の微分幾何学を活用することで、形状最適化における非線形性と無限次元性の課題に対処すること。
• 再現核を用いた近似法線関数を導入し、商空間 ${\cal F}/{\cal G}_{\omega}$ の接空間を離散化すること。
• 数値実験を通じてドメインヘッセ行列、境界ヘッセ行列、リーマンヘッセ行列の性能を比較すること。
• 特に定常点付近における収束速度と安定性に与える離散化の影響を分析すること。

提案手法

• 本手法は、形状変動を定義するためにミシェレッティ計量群 ${\cal F}$ を用い、許容可能な形状を商 ${\cal F}/{\cal G}_{\omega}$ によって同定する。
• コンパクトに台を持つ再現核を用いた近似法線関数を導入し、${\cal F}/{\cal G}_{\omega}$ の接空間の離散部分空間を構築する。
• ドメイン形状ヘッセ行列は ${\cal F}$ の接空間上で定義され、境界形状ヘッセ行列は商空間 ${\cal F}/{\cal G}_{\omega}$ 上で定義され、両者は法線方向の摂動において近似的に等しくなる。
• ドメインヘッセ行列を用いたニュートン反復を構築し、近似法線関数の空間へのガラーキン射影によってニュートン方向を解く。
• 異なるドメイン間で近似法線関数を関連付けるための輸送写像を導入し、離散設定における収束解析を可能にする。
• 適切な仮定の下で、本手法は超線形収束を保証し、生成された形状が ${\cal F}$ の計量において収束する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 無限次元の計量群 ${\cal F}$ 上で、接空間の離散近似を用いた形状最適化のためのニュートン法を構築できるか？
• RQ2 再現核を用いた近似法線関数は、超線形収束を保証するのに十分な幾何的構造を保持するか？
• RQ3 離散近似を用いた場合、ドメイン形状ヘッセ行列と境界形状ヘッセ行列の実用的性能はどのように比較できるか？
• RQ4 離散化は形状最適化におけるニュートン法の収束速度と安定性にどのような影響を与えるか？
• RQ5 法線場が近似された場合、どのような条件下でニュートン法が二次収束を達成できなくなるか？

主な発見

• 適切な仮定の下で、提案されたニュートン法は超線形収束を達成するが、法線場の近似のため二次収束は達成できない。
• 法線摂動に制限した場合、ドメイン形状ヘッセ行列と境界形状ヘッセ行列は一致するため、離散設定ではドメインヘッセ行列を代理として使用できる。
• 数値実験では、特に定常点付近で勾配法よりもニュートン法が著しく高速に収束することが示された。
• 大きな形状変形では、後者のドメインヘッセ行列に残留する接方向成分のため、境界形状ヘッセ行列がより好ましい。
• 収束速度は離散化の選択に敏感であり、制御点を多くすることで収束速度が向上することが、$N=10$ から $N=100$ の制御点を用いた実験で示された。
• 本手法は楕円形および正方形の領域の両方を効果的に処理でき、形状発展のスナップショットと残差ノルムを用いて収束が検証された。