[論文レビュー] Convergence of Nonlinear Filtering for Stochastic Dynamical Systems with Lévy Noises

Huijie Qiao|arXiv (Cornell University)|Jul 25, 2017

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 16被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、Lévyノイズで駆動されるマルチスケール確率力学系における非線形フィルタの収束を、均質化手法を用いて信号系の次元を低減することで確立する。弱収束技術を適用することで、信号プロセスおよび観測プロセスにジャンプを含む場合でも、遅い成分のフィルタリング分布が均質化限界系のものに収束することを証明する。

ABSTRACT

We consider a nonlinear filtering problem of multiscale non-Gaussian signal processes and observation processes with jumps. Firstly, we prove that the dimension for the signal system can be reduced by a homogenized approach. Secondly, convergence of the corresponding nonlinear filtering to the homogenized filtering is shown by a weak convergence technique. Finally, we give an example to explain our result.

研究の動機と目的

• 信号プロセスおよび観測プロセスに非ガウス的Lévyノイズを含むマルチスケール確率系における非線形フィルタリング問題に対処すること。
• 遅い成分のための均質化限界を導出することで、信号系の次元を低減すること。
• 時刻スケール分離パラメータε → 0の下で、遅い成分の条件付き分布の弱収束を確立すること。
• 拡散過程にとどまらず、一般のLévyノイズを有するジャンプ・拡散ダイナミクスを含むフィルタリング理論を拡張すること。
• 高速および遅速成分を有する複雑な系におけるフィルタリングのための厳密な理論的基盤を提供すること。

提案手法

• 信号（Xε）および高速成分（Zε）にLévy駆動SDEを用いる遅い-速い確率力学系を定式化し、εを用いた時刻スケール分離を導入する。
• 高速成分Zεをその不変測度で置き換えることで、遅い成分X⁰の限界SDEを導出する均質化技術を適用する。
• càdlàg経路空間上の確率測度の弱収束を用いて、フィルタリング分布の収束を証明する。
• 信号および観測プロセスのジャンプ成分を処理するために、補正付きマルティンググール測度をポアソン確率測度に用いる。
• 仮定されたエルゴディシティおよびモーメント条件の下で、高速成分Zεのタイトネスおよびモーメントバウンドを確立し、収束を保証する。
• 非線形フィルタリングのZakai方程式フレームワークを適用し、フィルタリング密度が均質化フィルタリング分布に弱収束することを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Lévyノイズを有するマルチスケール信号系の次元を、フィルタリング精度を保持したまま均質化によって低減できるか？
• RQ2 時刻スケール分離ε → 0の下で、遅い成分の非線形フィルタが均質化限界系のフィルタに弱収束するか？
• RQ3 信号および観測プロセスに含まれるジャンプ成分は、フィルタリング分布の収束にどのように影響するか？
• RQ4 係数およびノイズ特性にどのような条件下で、フィルタリング分布が法則収束するか？
• RQ5 弱収束技術は、遅い成分の拡散係数が高速成分に依存する系へと拡張可能か？

主な発見

• 仮定されたエルゴディシティおよびモーメント条件の下で、ε → 0の下で遅い成分XεはD([0,T], ℝⁿ)において弱収束し、均質化限界X⁰に収束する。
• 任意の有界可測関数ψに対して、ε → 0の下で条件付き期待値𝔼[ψ(Xεₜ) | ℱᵗ^{Yε]}は𝔼[ψ(X⁰ₜ) | ℱᵗ^{Yε]}に弱収束する。
• 限界フィルタリング分布は、高速成分の不変測度にわたる平均化によって得られる有効なドリフトおよび拡散係数を有する均質化SDEによって特徴づけられる。
• 観測プロセスに一般のLévy確率測度（確率的強度付き）を含む場合でも収束が成立する。
• h(x,z) = arctan(x), f₃(s,u) = u, λが定数である例は、すべての必要な仮定を満たしており、理論的結果が具体的な設定で確認されている。
• モーメントバウンドおよびコルモゴロフ型基準を用いて、高速成分Zεのタイトネスが確立され、有限次元分布の収束が保証される。