[論文レビュー] Convergence of random sums and statistics constructed from samples with random sizes to the Linnik and Mittag-Leffler distributions and their generalizations

V. Yu. Korolev, Alexander Zeifman|arXiv (Cornell University)|Feb 8, 2016

Statistical Distribution Estimation and Applications参考文献 21被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、幾何的和の枠を超えて、ランダムサイズの標本からの統計量の広範なクラスに対して、LinnikおよびMittag-Leffler分布が極限定理として現れることを確立している。新規の混合表現を用いて、Linnik分布がパラメータδ = α/2のMittag-Leffler混合分布を用いた正規分布のスケール混合であることを証明し、有限分散条件下でのランダム和、極値順序統計量、最大和に対する新たな極限定理を可能にした。

ABSTRACT

We present some product representations for random variables with the Linnik, Mittag-Leffler and Weibull distributions and establish the relationship between the mixing distributions in these representations. Based on these representations, we prove some limit theorems for a wide class of rather simple statistics constructed from samples with random sized including, e. g., random sums of independent random variables with finite variances, maximum random sums, extreme order statistics, in which the Linnik and Mittag-Leffler distributions play the role of limit laws. Thus we demonstrate that the scheme of geometric summation is far not the only asymptotic setting (even for sums of independent random variables) in which the Mittag-Leffler and Linnik laws appear as limit distributions. The two-sided Mittag-Leffler and one-sided Linnik distribution are introduced and also proved to be limit laws for some statistics constructed from samples with random sizes.

研究の動機と目的

• LinnikおよびMittag-Leffler極限定理が幾何的和のスキームに限られるという誤解を是正すること。
• 和項の分散が有限であっても、単純な統計量（例えばランダム和、極値順序統計量）に対してこれらの分布が極限として出現することを示すこと。
• Linnik、Mittag-Leffler、Weibull分布の新しい積表現および混合表現を確立し、それらの解析的性質を統一すること。
• Linnik分布が極限となるランダム和中心極限定理を構築し、そのためにMittag-Leffler分布が正規化された和項数を支配することを要請すること。
• 極値統計およびランダムサンプリングスキームを用いて、片側Linnik分布の吸引域結果を拡張すること。

提案手法

• Laplace変換およびFourier-Stieltjes変換を用いて、Linnik、Mittag-Leffler、Weibull分布の積表現を導出すること。
• パラメータαのLinnik分布が、パラメータδ = α/2のMittag-Leffler分布を混合分布とする正規分布のスケール混合であることを確立すること。
• 恒等式 |Lα| = |X|√Mα/2 を用いて、片側Linnik分布を半正規分布およびMittag-Leffler混合に結びつけること。
• 半正規分布のスケール混合の同定可能性を応用し、最大ランダム和の収束条件を導出すること。
• 表現 |Lα| = Wγ T1/γ1/γ Qα,2 を用いて、極値順序統計量をWeibullおよびガンマ変数を介して片側Linnik分布に接続すること。
• Lindeberg条件および正規化された標本サイズの分布収束を用いて、LinnikおよびMittag-Leffler分布への弱収束を証明すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 LinnikおよびMittag-Leffler分布は、幾何的和のスキームを超えて、ランダムサイズの標本からの統計量の極限定理として出現しうるか？
• RQ2 混合表現を通じて、Linnik、Mittag-Leffler、Weibull分布の間の明確な解析的関係は何か？
• RQ3 正規化された最大ランダム和が片側Linnik分布に収束するための条件は何か？
• RQ4 ランダムサイズ標本からの極値順序統計量が片側Linnik分布に収束するにはどのような吸引域条件が必要か？
• RQ5 ランダム和中心極限定理において、Linnik分布が極限分布となるための必要十分条件は何か、特に和項数がMittag-Leffler分布に従う場合に注目する。

主な発見

• パラメータαのLinnik分布は、パラメータδ = α/2のMittag-Leffler分布を混合分布とする正規分布のスケール混合である。
• 片側Linnik分布 |Lα| は、標準正規分布Xとパラメータα/2のMittag-Leffler分布Mα/2の積 |X|√Mα/2 に分布的に等しい。
• ランダムサイズ標本からの最小順序統計量の分布は、母分布が形状母数γのWeibull分布の吸引域にある場合、かつ正規化された標本サイズU_n/d_nがガンマ分布および逆ガンマ分布の特定の混合分布に収束する場合、片側Linnik分布に収束する。
• 最大ランダム和の収束が片側Linnik分布に起こるための必要十分条件は、正規化された和項数がパラメータα/2のMittag-Leffler分布に分布収束することである。
• 極限定理は頑健である：Mittag-LefflerおよびLinnik分布は、幾何的和に限らず、分散が有限な和項および非幾何的サンプリングスキームの下でも極限として出現する。
• 本稿では、Mittag-Leffler分布が正規化された和項数の極限を支配する場合に、Linnik分布が正規化された和の極限となる「必要十分条件」を有する新しいランダム和中心極限定理を提供している。