[論文レビュー] Convergence of Rothe scheme for hemivariational inequalities of parabolic type

Piotr Kalita|arXiv (Cornell University)|Aug 27, 2011

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ひとこと要約

本稿は、反射的バナッハ空間上におけるClarkeの部分微分を用いて定義された多値項を有する放物型半可微分不等式に対するロスキー法の収束を確立する。時間離散化された楕円型包含問題を解き、区分的定数および区分的線形近似の収束を示すことにより、正則化を必要とせず、解の存在を構成的に証明するとともに、有効な数値近似を提供する。この方法は、従来の結果を一般化し、ソース項と境界条件を統一的な枠組みで扱えるようにする。

ABSTRACT

This article presents the convergence analysis of a sequence of piecewise constant and piecewise linear functions obtained by the Rothe method to the solution of the first order evolution partial differential inclusion $u'(t)+Au(t)+ι^*\partial J(ιu(t)) i f(t)$, where the multivalued term is given by the Clarke subdifferential of a locally Lipschitz functional. The method provides the proof of existence of solutions alternative to the ones known in literature and together with any method for underlying elliptic problem, can serve as the effective tool to approximate the solution numerically. Presented approach puts into the unified framework known results for multivalued nonmonotone source term and boundary conditions, and generalizes them to the case where the multivalued term is defined on the arbitrary reflexive Banach space as long as appropriate conditions are satisfied. In addition the results on improved convergence as well as the numerical examples are presented.

研究の動機と目的

• Clarke部分微分を含む一次の進化包含問題の解の存在に対する構成的証明を提供すること。
• ロスキー法を任意の反射的バナッハ空間上における多値項を有する放物型半可微分不等式に拡張し、ソース項と境界条件の両方を統一的に取り扱うこと。
• 正則化や平滑化項を必要とせず、区分的定数および区分的線形ロスキー近似が真の解に収束することを確立すること。
• 時間依存問題に対して既存の楕円型ソルバーを活用できる、数値的に効果的な枠組みを構築すること。

提案手法

• 時間微分を後退差分商に置き換えることで、時間離散化を後退オイラー法により行う。
• 各時間ステップで、局所リプシッツ関数のClarke部分微分によって与えられる多値項を有する楕円型変分不等式を解く。
• 時間離散化された解から区分的定数および区分的線形関数を構成し、全解を近似する。
• 近似列の収束を用いて、適切な関数空間内での解の存在をロスキー法により証明する。
• 適切な埋め込みまたはトレース作用素を選択することにより、ソース型および境界型半可微分不等式の両方に適用可能である。
• 空間に有限要素法、時間に有限差分法を用いた数値スキームを実装し、各時間ステップで部分微分のグラフの水平、斜め、垂直のセグメントの3つの場合をチェックすることで、多値性を適切に扱う。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Clarke部分微分によって定義された多値項を有する放物型半可微分不等式に対して、ロスキー法を厳密に適用可能か？
• RQ2 ロスキー法は、統一的な枠組み内でソース型および境界型半可微分不等式の両方に対して収束する近似を提供するか？
• RQ3 正則化や下界／上界解に関する事前知識を必要とせず、構成的解の存在証明を提供できるか？
• RQ4 非単調な部分微分を有する場合、ロスキー近似の収束挙動はいかなるものか？
• RQ5 部分微分が非単調なジャンプや多値性を示す場合、数値的性能はどのようになるか？

主な発見

• 区分的定数および区分的線形近似の弱収束の意味で、ロスキー法は放物型半可微分不等式の解に収束する。
• Surjectivity定理や上界／下界解技術に基づく非構成的証明とは異なり、本手法は構成的代替手段を提供する。
• 条件 $ H(J)_1 $ を満たすポテンシャル $ j_2 $ の場合、各時間ステップで唯一の解が数値的に得られたことから、この領域では一意性が示唆される。
• 条件 $ H(J)_1 $ を満たさないポテンシャル $ j_1 $ の場合、複数の解が複数の時間ステップで得られたことから、解の多重性が可能性として示唆される。
• 部分微分のグラフの水平、斜め、垂直のセグメントの3通りのケースをチェックすることで、多値性を効果的に処理できた。
• 追加の仮定のもとで収束が改善され、線形および非線形作用素 $ A $ の両方に対して有効であることが示された。ただし、基礎となる楕円型問題が可解であることが前提である。