[論文レビュー] Convergence of row sequences of simultaneous Fourier-Pad\\'e approximation

J. Cacoq, Lagomasino, G. López|arXiv (Cornell University)|Mar 7, 2012

Mathematical functions and polynomials参考文献 6被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、閉単位円板の近傍で正則なベクトル関数の同時フーリエ・パデ近似の行系列について、モンテーユス・ド・バラール型の収束定理を確立する。極の独立性およびほとんど everywhere で正の重み条件のもと、近似式は原点を中心とする、高々 |m| 個の極を含む最大の円板のコンパクト部分集合上で一様収束し、分母の零点は目標関数の極を正しい重複度で漸近的に特定する。

ABSTRACT

We consider row sequences of simultaneous rational approximations constructed in terms of Fourier expansions and prove a Montessus de Ballore type theorem.

研究の動機と目的

• 閉単位円板の近傍で正則なベクトル関数の同時フーリエ・パデ近似の行系列の収束定理を確立すること。
• 目標関数の極の位置と重複度に基づいて、一様収束の領域を特徴づけること。
• 近似式の共通分母の零点が、目標関数の極と一致する重複度で収束することを示すこと。
• 古典的なモンテーユス・ド・バラール定理を、フーリエ展開によるベクトル関数の同時近似に拡張すること。
• 十分大きな n に対して近似式が一意に定まり、ハウスドルフ内容で収束するような条件を提供すること。

提案手法

• 単位円上での正規直交多項式に関するフーリエ展開を用いて、同時有理近似式 R_{n,m} = (P_{n,m,1}/Q_{n,m}, ..., P_{n,m,d}/Q_{n,m}) を構築する。
• 共通分母 Q_{n,m} の零点が単位円の相対的位置に基づいて正規化を施す。
• 正規直交多項式 {φ_n} の漸近的性質を適用し、コンパクト部分集合上でフーリエ展開の一様収束を保証する。
• 多インデックス m に関する「極の独立性」の概念を用いて、領域内に少なくとも |m| 個の極が存在することを保証する。
• コーシー積分推定とライブニッツ則を用いて、Q_{n,m} 及びその微分の成長を制御する。
• limsup による推定式 ||Q_{n,m}^{(j)}(z_k)||^{1/n} を導出し、それらを最大で |m| 個の極を含む円板の外半径 R_|m|(f) に関連づけることにより、収束速度を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 複素平面のコンパクト部分集合上で、同時フーリエ・パデ近似の行系列が一様収束するための条件は何か？
• RQ2 共通分母 Q_{n,m} の零点は、正則性領域内の目標ベクトル関数 f の極とどのように関係するか？
• RQ3 多インデックス m に関する「極の独立性」が、近似式の一意性と収束を保証するために果たす役割は何か？
• RQ4 近似式の収束速度は、f の極の位置に基づいて定量的に表現できるか？
• RQ5 近似誤差は、f の極を高々 |m| 個含む最大の円板の外半径 R_|m|(f) にどの程度依存するか？

主な発見

• 十分大きな n に対して、極の独立性および 𝕋 上で σ′ > 0 a.e. の仮定のもと、同時フーリエ・パデ近似式 R_{n,m} は一意に定まる。
• 近似式は、f の高々 |m| 個の極を含む原点中心の最大の円板 D_|m|(f) のコンパクト部分集合上で一様収束する。
• Q_{n,m} の零点は、D_|m|(f) 内の f の極に、重複度を保ったまま収束する。各極の重複度 τ に対して、ちょうど τ 個の零点がその極に集まる。
• 収束速度は、任意の D_|m|(f) ∩ {z : |z| > 1} のコンパクト部分集合 K(ε) に対して、limsup_{n→∞} ||f_i - R_{n,m,i}||_{K(ε)}^{1/n} ≤ ||z||_K / R_|m|(f) を満たす。
• n→∞ の極限において、Q_{n,m}(z) の極限は、D_|m|(f) 内の f の極（重複度を含む）を零点とする多項式 Q_|m|(f)(z) に一致する。
• 極の位置における分母およびその微分の成長は、|z_k| / R_|m|(f) で有界であり、これが収束挙動を制御する。