[論文レビュー] Convergence of series of dilated functions and spectral norms of GCD matrices

Kristian Seip, Christoph Aistleitner+2 more|arXiv (Cornell University)|Jul 21, 2014

Holomorphic and Operator Theory参考文献 28被引用数 16

ひとこと要約

本稿は、関数 $f \in C^\alpha$ に対して $\alpha \in (1/2, 1)$ のとき、$L^2$ 収束およびほとんど everywhere 収束に関する鋭い収束条件を、最大公約数（GCD）行列のスペクトルノルムに着目することで確立する。$\sum c_k f(kx)$ および $\sum c_k f(n_k x)$ の系列に対して、$c_k$ が $\log k$ および $\log \log k$ を含む指数的減衰条件を満たす場合に、$L^2$ および a.e. で収束が成立することを示し、最近得られた GCD 行列のスペクトルノルムに関する境界から最適な定数を導出する。これらの条件が $L^2$ 収束および a.e. 収束の両方に対して鋭いかどうかを解明するが、標準的な拡大系列の $L^2$ 場合における正確な定数については未解決である。

ABSTRACT

We establish a connection between the $L^2$ norm of sums of dilated functions whose $j$th Fourier coefficients are $\\mathcal{O}(j^{-\\alpha})$ for some $\\alpha \\in (1/2,1)$, and the spectral norms of certain greatest common divisor (GCD) matrices. Utilizing recent bounds for these spectral norms, we obtain sharp conditions for the convergence in $L^2$ and for the almost everywhere convergence of series of dilated functions.

研究の動機と目的

• 周期関数 $f \in C^\alpha$ で $\alpha \in (1/2, 1)$ を満たす場合に、級数 $\sum c_k f(kx)$ および $\sum c_k f(n_k x)$ の $L^2$ 収束およびほとんど everywhere 収束に対する鋭い十分かつ必要条件を確立すること。
• 拡大関数の和の $L^2$ ノルムを、最大公約数（GCD）行列のスペクトルノルムに結びつけること。最近得られたこれらのノルムに関する境界を活用する。
• 収束のための係数列 $(c_k)$ の最適な成長率を特定し、$\alpha < 1$ のとき $\ell^2$ 可 summability（$\sum c_k^2 < \infty$）よりもはるかに強い減衰が必要であることを示すこと。
• 反例を構築することで、導出された収束条件が $L^2$ 収束および a.e. 収束の両方において最適であることを証明すること。これは、弱い $\ell^2$ 型の仮定を満たすが条件を満たさない場合に、依然として $L^2$ や a.e. で発散する例を用いる。

提案手法

• 関数 $f$ の $C^\alpha$ 性質に起因するフーリエ級数の減衰を用いて、$\sum c_k f(kx)$ の $L^2$ ノルムを、$\gcd(k,\ell)^{2\alpha}/(k\ell)^\alpha$ を成分とする GCD 行列のスペクトルノルムに結びつける。
• 特に除数関数 $\sigma_s(k)$ を含む最近の GCD 行列のスペクトルノルムに関する鋭い境界を応用し、$c_k$ に対する指数的減衰条件を導出する。
• 最適性の証明にあたっては、定数をわずかに小さくした条件を満たすが、依然として $L^2$ または a.e. で発散するような係数列 $(c_k)$ および $(n_k)$ を確率的技法と Borel–Cantelli の補題を用いて構築する。
• インデックス集合の dyadic 分解を用い、インデックスをブロック $\Gamma_i$ および $\Delta_i$ にグループ化することで、$L^2$ ノルムの成長を制御し、Lyapunov の条件を用いて中心極限定理を適用する。
• 定理 3 の証明では、コーシー＝シュバルツの不等式と除数関数 $\sigma_s(k)$ の性質を用いて、部分和の $L^2$ ノルムを評価し、$\sum c_k^2 \sigma_{1-2\alpha+\varepsilon}(k) < \infty$ が $L^2$ 収束を示すことを示す。
• a.e. 収束の最適性の証明には、条件付き期待値とモーメントの上限を用い、部分和を確率的に支配する独立な確率変数 $Y_i$ を構築し、中心極限定理を適用して a.s. 発散を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 関数 $f \in C^\alpha$ で $\alpha \in (1/2, 1)$ のとき、$\sum c_k f(kx)$ の $L^2$ 収束に対する係数列 $(c_k)$ の鋭い条件は何か？
• RQ2 $(n_k)$ を相異なる正の整数の列とするとき、$\sum c_k f(n_k x)$ の a.e. 収束に対する $(c_k)$ の鋭い条件は何か？
• RQ3 GCD 行列のスペクトルノルムと拡大関数級数の $L^2$ ノルムの関係は何か？
• RQ4 $f \in C^\alpha$ の場合、$\sum c_k^2 < \infty$ よりも改善された収束条件は得られるか？ もしそうなら、最適な減衰率は何か？
• RQ5 $\sum c_k f(kx)$ の $L^2$ 収束に対する導出された条件は、a.e. 収束に対しても最適か？

主な発見

• 関数 $f \in C^\alpha$ で $\alpha \in (1/2, 1)$ のとき、級数 $\sum c_k f(kx)$ は $\sum c_k^2 \exp\left( K (\log k)^{1-\alpha} / \log \log k \right) < \infty$ が成り立つ限り、$L^2$ 収束および a.e. 収束する。ここで $K = 3/(1-\alpha) + 4/\sqrt{2\alpha - 1}$ であり、この条件は $L^2$ 収束に対して最適である。
• 級数 $\sum c_k f(n_k x)$ に対しては、$\sum c_k^2 \exp\left( K (\log k)^{1-\alpha} / (\log \log k)^\alpha \right) < \infty$ が成り立つ場合、$L^2$ 収束および a.e. 収束する。ここで $K = 6/(1-\alpha) + 7(|\log(2\alpha - 1)|^{1/2} + 1)$ であり、この条件は $L^2$ および a.e. 収束の両方に対して最適である。
• $\sum c_k^2 \sigma_{1-2\alpha+\varepsilon}(k) < \infty$ が $\varepsilon > 0$ に対して成り立つならば、$\sum c_k f(kx)$ は $L^2$ で収束する。これは、除数関数の成長が一部の状況で指数的要因を置き換えられることを示している。
• 任意の $\varepsilon > 0$ に対して、$f \in C^\alpha$ および $(c_k)$ が存在し、$\sum c_k^2 \exp\left( (1-\varepsilon)/(1-\alpha) \cdot (\log k)^{1-\alpha} / \log \log k \right) < \infty$ を満たすが、級数 $\sum c_k f(kx)$ は $L^2$ で収束しない。これにより、$L^2$ 収束の条件が鋭いかどうかが証明される。
• a.e. 収束のための条件は最適である。$f \in C^\alpha$、$(c_k)$、$(n_k)$ が存在し、$\sum c_k^2 \exp\left( \hat{K} (\log k)^{1-\alpha} / (\log \log k)^\alpha \right) < \infty$ が成り立つが、級数は a.e. で発散する。これにより、指数的要因の最適性が証明される。
• $\alpha \to 1^-$ のとき、収束条件における定数 $K$ の発散は $(1-\alpha)^{-1}$ のオーダーであり、これは十分性と最適性の両結果と一致する。