[論文レビュー] Convergence of stochastic 2D inviscid Boussinesq equations with transport noise to a deterministic viscous system

Dejun Luo|arXiv (Cornell University)|Aug 4, 2020

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ひとこと要約

本稿では、2次元非粘性Boussinesq方程式に輸送型ノイズを導入した弱解が、適切なノイズスケーリングのもとで、確定的粘性Boussinesq系の唯一の解に弱収束することを確立している。輸送ノイズは漸近的に系を正則化し、有効な散逸を誘発し、極限において粘性を強化する。これにより、非粘性系における確率的正則化機構が得られる。

ABSTRACT

The inviscid 2D Boussinesq system with thermal diffusivity and multiplicative noise of transport type is studied in the $L^2$-setting. It is shown that, under a suitable scaling of the noise, weak solutions to the stochastic 2D Boussinesq equations converge weakly to the unique solution of the deterministic viscous Boussinesq system. Consequently, the transport noise asymptotically regularizes the inviscid 2D Boussinesq system and enhances dissipation in the limit.

研究の動機と目的

• 乗法的輸送ノイズを伴う2次元非粘性Boussinesq系の弱解の漸近的挙動を調査すること。
• このようなノイズが正則化を誘発し、極限において確定的粘性系に収束するかどうかを特定すること。
• ノイズ強度の適切なスケーリングのもとで弱解の収束を確立すること。
• 輸送ノイズが正則化機構として機能し、極限において散逸を効果的に強化することを示すこと。

提案手法

• 空間-時間ブラウン運動によって駆動されるストラトノヴィッチ型ノイズを伴う2次元Boussinesq系を渦度形式で定式化すること。
• トーラスT²上でのフーリエモードを用いたノイズ表現を採用し、対称係数と時間方向に白色雑音を有するものとする。
• ノイズ強度νを系のパラメータと併せてスケーリングする極限を適用し、確定的粘性極限を導出すること。
• 分布空間におけるコンパクトネスおよびタイトネスの議論を用いて解の弱収束を証明すること。
• エネルギー推定とGronwall型の議論を用いて、確定的粘性系の極限解の一意性を確立すること。
• 伊藤の公式および事前推定を用いて解の成長を制御し、収束を保証すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2次元非粘性Boussinesq系に輸送ノイズを追加した場合、ノイズ強度を適切にスケーリングする際に、確定的極限が一意に定まるか？
• RQ2 確率的系の弱解が、確定的粘性Boussinesq系の唯一の解に弱収束するか？
• RQ3 輸送ノイズは非粘性領域における散逸の強化と解の正則化にどのように寄与するか？
• RQ4 ノイズ強度νは、確定的極限系における有効な粘性にどのように影響するか？

主な発見

• ノイズ強度の適切なスケーリングのもとで、確率的2次元非粘性Boussinesq方程式の弱解は、確定的粘性Boussinesq系の唯一の解に弱収束する。
• 極限における確定的系の粘性係数はノイズ強度νに等しく、ノイズが散逸を強化することを示している。
• 輸送ノイズは正則化機構として機能し、非粘性系を安定化させ、極限において解の全域的存在を可能にする。
• エネルギー推定とGronwallの不等式を用いて、L²初期データに対する確定的粘性Boussinesq系の解の一意性が確立された。
• 収束はコンパクトネスおよびタイトネスの議論により示され、極限は確定的かつ一意に解けるものである。
• 本結果は、以前の確率的2次元EulerおよびNavier-Stokes方程式のスケーリング極限を、熱的効果を有するより複雑なBoussinesq系へと拡張している。