[論文レビュー] CONVERGENCE OF SUPERCRITICAL FRACTIONAL FLOWS TO THE MEAN CURVATURE FLOW

Lucia De Luca, Andrea Kubin+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2021

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 14被引用数 1

ひとこと要約

本稿では、コア半径正則化法を用いて、超臨界分数階幾何的流れが古典的平均曲率流れに収束することを確立する。s ≥ 1 に対して再正規化されたコア半径正則化分数的s-周囲積分を導入することで、著者らは、適切なスケーリングのもとで、これらの非局所的周囲積分がΓ収束し、その曲率が平均曲率に収束し、対応するレベルセット流れが平均曲率流れに収束することを証明する。結果は、材料科学における不履歴の動的挙動への応用を含め、異方的カーネルに対しても拡張可能である。

ABSTRACT

We consider a core-radius approach to nonlocal perimeters governed by isotropic kernels having critical and supercritical exponents, extending the nowadays classical notion of $s$-fractional perimeter, defined for $0

研究の動機と目的

• 0 < s < 1 の古典的範囲を越えて、s ≥ 1 の超臨界領域におけるs-分数的周囲積分の概念を拡張すること。この範囲では、標準的な定義が無限大のエネルギーを与える。
• s ≥ 1 に対して、有限で再正規化されたs-分数的周囲積分および曲率を定義できる、厳密なコア半径正則化スキームを確立すること。
• 適切なスケーリングのもとで、これらの正則化された非局所的幾何関数がΓ収束し、古典的ユークリッド周囲積分に収束し、その曲率が標準的な平均曲率に収束することを証明すること。
• 正則化された非局所的曲率に関連するレベルセット流れが、コア半径が0に近づく際に、古典的平均曲率流れに収束することを示すこと。
• 異方的カーネルへのフレームワークの拡張を行い、材料科学における線張力エネルギーに支配される不履歴の動的挙動への応用を行うこと。

提案手法

• s ≥ 1 に対して、切断カーネルを用いたコア半径正則化によりs-分数的周囲積分を定義し、特異的コア寄与を除去する正則化エネルギー ˜Jg,sr を導入する。
• Γ収束理論を適用し、r → 0+ のとき、正則化された周囲積分 ˜Jg,sr が適切にスケーリングされ、標準的なユークリッド周囲積分にΓ収束することを示す。
• 正則化された周囲積分の第一変分を計算し、非局所的曲率 ksr を定義する。この曲率が r → 0+ のとき古典的平均曲率に収束することが示される。
• 可視解理論および幾何的流れの安定性結果を用い、時間再パラメータ化を施した ksr に従うレベルセット発展が、コンパクトな時間区間 [0, T] 上で、平均曲率流れの可視解に一様収束することを証明する。
• 正則性および対称性条件を満たす異方的カーネル g を用い、異方的曲率 Kg,sr を定義し、r → 0+ のとき異方的平均曲率流に収束することを証明する。
• 結果を不履歴の動的挙動に応用する。線張力エネルギーを非局所的異方的エネルギーとしてモデル化し、r → 0+ の極限において、その力学的挙動が異方的平均曲率流に収束することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 標準的な積分が発散する s ≥ 1 の超臨界領域において、s-分数的周囲積分の概念を意味的に拡張できるか？
• RQ2 s ≥ 1 に対してコア半径正則化された s-分数的周囲積分が、Γ収束するような列を生成し、古典的ユークリッド周囲積分に収束するか？
• RQ3 正則化された周囲積分の第一変分（非局所的曲率）が、コア半径 r → 0+ のとき、古典的平均曲率に収束するか？
• RQ4 正則化された曲率に関連するレベルセット幾何的流れが、適切な時間再パラメータ化のもとで、標準的な平均曲率流れに収束するか？
• RQ5 フレームワークを異方的カーネルに拡張可能か？物理的応用、例えば不履歴の動的挙動における、対応する幾何的流れの極限挙動はいかなるものか？

主な発見

• s ≥ 1 に対して、コア半径正則化された s-分数的周囲積分 ˜Jg,sr は、適切にスケーリングされたとき、r → 0+ で標準的なユークリッド周囲積分にΓ収束する。
• 正則化された周囲積分に関連する非局所的曲率 ksr は、r → 0+ のとき古典的平均曲率 H に収束する。
• 時間再パラメータ化 σs(r) を施した ksr に従うレベルセット流れは、コンパクト時間区間 [0, T] 上で、平均曲率流れの可視解に一様収束する。
• 必要な正則性および対称性条件を満たす異方的カーネル g に対して、正則化曲率 Kg,sr は r → 0+ のとき異方的平均曲率 Kg,1 に収束する。
• 不履歴の動的挙動の文脈において、正則化された線張力エネルギーに従う幾何的発展は、r → 0+ の極限で異方的平均曲率流に収束する。このとき、不履歴曲線は瞬時に消滅する。
• 極限における力学的挙動は、ボルジュアスベクトルの方向によって誘導される異方性を有する線張力エネルギーによって駆動される異方的平均曲率流に対応し、密度 ϕg(ν) によって形式化される。