[論文レビュー] Convergence of the Crank-Nicolson-Galerkin finite element method for a class of nonlocal parabolic systems with moving boundaries

Rui M.P. Almeida, José C. M. Duque+2 more|arXiv (Cornell University)|Jan 31, 2014

Differential Equations and Numerical Methods参考文献 21被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、移動境界を伴う非線形で非局所的な放物型系に、線形化されたクランク・ニコルソン・ガラーキン有限要素法を適用した場合の最適収束速度を確立している。座標変換により定義域を固定化し、任意の次数の多項式基底関数を用いることで、空間および時間において最適な誤差境界を達成した。数値実験により高い精度と、適応的移動有限要素法と整合する結果が得られ、妥当性が裏付けられた。

ABSTRACT

The aim of this paper is to establish the convergence and error bounds to the fully discrete solution for a class of nonlinear systems of reaction-diffusion nonlocal type with moving boundaries, using a linearized Crank-Nicolson-Galerkin finite element method with polynomial approximations of any degree. A coordinate transformation which fixes the boundaries is used. Some numerical tests to compare our Matlab code with some existing moving finite elements methods are investigated.

研究の動機と目的

• 非線形で非局所的な放物型系に、移動境界を伴う数値解法を確立する。これは、集団動態や熱伝導現象に現れる。
• 任意の次数の多項式近似を用いた完全離散化された線形化クランク・ニコルソン・ガラーキン有限要素法の、厳密な収束性と誤差境界を確立する。
• 解のグローバル積分に依存する非局所拡散項を扱い、時間的および空間的安定性と精度を保証する。
• 精度および収束挙動の観点から、既存の移動有限要素法（MFEM）と本手法を比較する。
• メッシュサイズ、時間刻み、パラメータ許容誤差を変化させた数値シミュレーションを通じて、理論的結果を検証する。

提案手法

• 非円筒的で境界が移動する定義域を固定された計算領域に写像するための座標変換を適用し、標準的な有限要素離散化を可能にする。
• 時間方向離散化にクランク・ニコルソンスキームを用い、時間的に2次精度と無条件安定性を達成する。
• 空間離散化に、任意の次数の区分的多項式基底関数を用いたガラーキン有限要素法を採用する。
• 各時間ステップで非線形系に対して線形化戦略を適用し、計算効率を向上させるために一連の線形系を逐次解く。
• MATLABを用いて手法を実装し、最終時刻TにおけるL2(α(T), β(T))空間での誤差ノルムを計算する。
• 同一の問題設定と解の指標を用いて、先行研究における移動有限要素法（MFEM）と数値比較を実施する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 移動境界を伴う非局所的放物型系に適用する線形化クランク・ニコルソン・ガラーキン有限要素法の最適収束速度は何か？
• RQ2 精度および誤差制御の観点から、適応的移動有限要素法と比較して、本手法の性能はいかがであるか？
• RQ3 任意の多項式次数に対して、空間（h）および時間（k）の両方で最適な誤差境界を達成できるか？
• RQ4 拡散係数および非局所項の変動が、数値解の安定性および収束性に与える影響は何か？
• RQ5 座標変換が離散系の条件数および精度に与える影響は何か？

主な発見

• 本手法は空間および時間において最適な収束速度を達成しており、次数2および3の多項式に対して理論的誤差境界が数値的に確認された。
• 数値実験では、空間（h）における収束次数が約2、時間（k）においても約2であり、定理4.1の理論的予測と整合的である。
• 固定されたメッシュおよび時間刻みにおいて、ニュートン・ラプソン法の許容誤差δを小さくするにつれて誤差が顕著に減少し、線形化プロセスの頑健性が裏付けられた。
• 移動有限要素法（MFEM）と直接比較した結果、本手法は同等または優れた精度を達成しており、後期の時刻では誤差が最大2桁減少した。
• 両方のテストケースにおいて、数値結果は理論的収束挙動および[20]の結果と非常に良く一致しており、手法の信頼性が検証された。
• 移動境界および非局所的非線形性が存在する領域においても、本手法は高い精度を維持しており、解の勾配が急な領域でも誤差は小さく保たれた。