[論文レビュー] Convergence of the Cyclic and Quasi-cyclic Block Jacobi Methods

Vjeran Hari, Erna Begović|arXiv (Cornell University)|Apr 20, 2016

Matrix Theory and Algorithms参考文献 27被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、対称行列におけるサイクリックおよび準サイクリックブロックヤコビ法のグローバル収束性を、大幅に拡張されたピボット戦略のクラスを用いて確立する。強力な収束バウンド $ S(A') \leq cS(A) $ を証明し、$ c < 1 $ である。このバウンドにより、ブロックヤコビ作用素を用いた一般化固有値問題への応用が可能となり、一般化されたシリアル戦略下での完全ブロック $ J $-ヤコビ法にも応用可能となる。

ABSTRACT

The paper studies the global convergence of the block Jacobi me\-thod for symmetric matrices. Given a symmetric matrix $A$ of order $n$, the method generates a sequence of matrices by the rule $A^{(k+1)}=U_k^TA^{(k)}U_k$, $k\geq0$, where $U_k$ are orthogonal elementary block matrices. A class of generalized serial pivot strategies is introduced, significantly enlarging the known class of weak wavefront strategies, and appropriate global convergence proofs are obtained. The results are phrased in the stronger form: $S(A')\leq c S(A)$, where $A'$ is the matrix obtained from $A$ after one full cycle, $c&lt;1$ is a constant and $S(A)$ is the off-norm of $A$. Hence, using the theory of block Jacobi operators, one can apply the obtained results to prove convergence of block Jacobi methods for other eigenvalue problems, such as the generalized eigenvalue problem. As an example, the results are applied to the block $J$-Jacobi method. Finally, all results are extended to the corresponding quasi-cyclic strategies.

研究の動機と目的

• ブロックヤコビ法の収束ピボット戦略のクラスを、弱い波フロント戦略を越えて拡大すること。
• より強い形でのグローバル収束性を確立すること：$ S(A') \leq cS(A) $ で $ c < 1 $ であり、$ S(A) $ は行列 $ A $ の非対角ノルムを表す。
• ブロックヤコビ作用素理論を他の固有値問題への応用に可能にする。特に一般化固有値問題。
• 収束結果を準サイクリック戦略へ拡張し、一般化された戦略下でのブロック $ J $-ヤコビ法のグローバル収束性を証明すること。
• すべてのサイクリック戦略が $ n = 4 $ に対して収束することを示し、長年の未解決事項を解決すること。

提案手法

• 逆および置換同値関係を用いた一般化シリアルピボット戦略を導入し、収束戦略の既知の集合を著しく拡張する。
• ブロックヤコビアンニヘーターと作用素を定義し、直交的ブロック変換下での収束挙動を分析する。
• 鍵となる不等式 $ S(A') \leq cS(A) $ を確立し、$ c < 1 $ は初期行列 $ A $ に依存しない。これによりグローバル収束が保証される。
• ブロックヤコビ作用素理論を応用し、一般化固有値問題や $ J $-ヤコビ固有値問題などの関連固有値問題への収束結果を拡張する。
• 変換行列の条件と対角要素の推定値を検証することで、一般化シリアル戦略下での完全ブロック $ J $-ヤコビ法の収束性を証明する。
• 類似の技術を用いて準サイクリック戦略へ結果を拡張し、同じ強力な非対角ノルム低減のもとで収束が成立することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ブロックヤコビ法の収束ピボット戦略のクラスは、弱い波フロント戦略を大幅に超えて拡大可能か？
• RQ2 サイクリックおよび準サイクリック戦略の広いクラスに対して、強力な収束バウンド $ S(A') \leq cS(A) $ で $ c < 1 $ が成立するか？
• RQ3 ブロックヤコビ作用素フレームワークを用いて、一般化固有値問題および $ J $-ヤコビ法のグローバル収束性を証明可能か？
• RQ4 すべてのサイクリック戦略が $ n = 4 $ に対してグローバルに収束するか？そして、これを厳密に確立可能か？
• RQ5 収束理論は、ヘルミート行列および一般化ヘルミートペアに対する複素ブロックヤコビ法へ拡張可能か？

主な発見

• ブロック行列分割サイズ $ m $ に対して、一般化シリアルピボット戦略のクラスには少なくとも $ 2! \cdot 3! \cdots (m-1)! $ 個の異なる収束戦略が含まれる。
• グローバル収束がより強い形で証明され、$ c < 1 $ である $ S(A') \leq cS(A) $ を満たす。これは初期行列 $ A $ に依存せず、線形収束速度を保証する。
• 任意の一般化シリアルピボット戦略下で完全ブロック $ J $-ヤコビ法はグローバルに収束する。これは、従来の弱い波フロント戦略に限られた結果を拡張する。
• サイクリック戦略の収束結果は、直接的に準サイクリック戦略へ拡張可能であり、類似のバウンドと収束保証が得られる。
• すべての $ 720 $ 個の $ n = 4 $ 用サイクリック戦略がグローバルに収束する。これは、以前未解決であった事項を解決する。
• 理論により、ブロックヤコビ作用素技術を用いて、HZ法やブロックパアールデコッパー法などの他のヤコビ型手法のグローバル収束性の証明が可能になる。