[論文レビュー] Convergence of the Ricci flow on asymptotically flat manifolds with integral curvature pinching

Eric Chen|arXiv (Cornell University)|Jul 30, 2019

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 23被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、次元 $n \geq 3$ の漸近平坦な多様体上のリッチフローに対して、曲率ピンチング条件を確立する。初期のソボレフ定数の逆数に対して、スケール不変な $L^{n/2}$-ノルムが十分に小さい場合、リッチフローはすべての時間にわたって存在し、滑らかに平坦なユークリッド空間に収束する。この結果により、初期多様体は $\mathbb{R}^n$ に微分同相であることが示され、コンパクト多様体に対する積分的曲率ピンチング定理の非コンパクト版が得られる。

ABSTRACT

We prove a curvature pinching result for the Ricci flow on asymptotically flat manifolds: if an asymptotically flat manifold of dimension $n\geq 3$ has scale-invariant integral norm of curvature sufficiently pinched relative to the inverse of its Sobolev constant, then the Ricci flow starting from this manifold exists for all positive times and converges to flat Euclidean space. In particular our result implies that the initial manifold must have been diffeomorphic to $\mathbb{R}^n$.

研究の動機と目的

• 非コンパクトで漸近平坦（AF）な多様体上のリッチフローの長期間にわたる存在性と収束を保証する曲率ピンチング条件を確立すること。
• フローに沿って一様なソボレフ定数の制御が得られないという問題を克服するため、曲率重み付きソボレフ不等式を導入すること。
• このピンチング条件のもとで、リッチフローが平坦な $\\mathbb{R}^n$ に収束することを証明し、初期多様体が $\\mathbb{R}^n$ に微分同相であることを示すこと。
• 従来の点でのピンチング結果とは異なり、非自明なAF多様体の具体例を提示し、ピンチング条件を満たすことを示すこと。

提案手法

• ペレラの $\mathcal{W}$-汎関数を用いて、AF多様体上のリッチフローに沿って有効な曲率重み付きソボレフ不等式を導出する。
• 曲率重み付きソボレフ不等式を用いて爆発を制御し、弱い最大原理に基づいてリーマン曲率テンソルの $L^{\infty}$-ノルムに対する一様な有界性を確立する。
• $q = \frac{n}{2}\frac{n}{n-2}$ に対する $\|\text{Rm}_{g(t)}\|_{L^q}$ の時間発展を解析し、鋭い減衰推定を得る。
• 特定の $q$-ノルムを用いたモーザー反復法を適用し、点での曲率減衰を $o(t^{-1})$ 減衰に高める。これは平坦空間への収束に不可欠である。
• フローに沿って $L^{n/2}$-ノルムが単調減少であることを証明し、減衰推定の根拠とする。
• 共形変換および回転対称性の簡略化を用いて、最小超曲面をもつ多様体における $L^{n/2}$-ノルムの下界を示し、ピンチング条件が空でないことを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 漸近平坦多様体上でのリッチフローに対して、コンパクト多様体における積分的曲率ピンチングの非コンパクト版を確立できるか？
• RQ2 初期のソボレフ定数に対して相対的に $L^{n/2}$-ノルムが小さいリーマン曲率テンソルは、リッチフローの長期間にわたる存在性と平坦空間への収束を保証するか？
• RQ3 一様なソボレフ定数の境界がない状況でも、非コンパクトなAF多様体上で曲率重み付きソボレフ不等式を構成できるか？
• RQ4 従来の点でのピンチング結果が排除していたにもかかわらず、非自明な漸近平坦多様体でピンチング条件を満たす例は存在するか？
• RQ5 漸近平坦多様体において、$L^{n/2}$-ノルムが小さい曲率が、最小超曲面の存在に与える幾何的意味は何か？

主な発見

• 次元に依存する $\delta(n) > 0$ が存在し、$\left(\int_M |\text{Rm}_{g_0}|^{n/2} dV_{g_0}\right)^{2/n} < \delta(n)/C_{g_0}$ ならば、リッチフローはすべての $t \in [0, \infty)$ で存在する。
• リッチフローは任意の $\tau' \in (0, \min(\tau, n-2))$ に対して $C^\infty_{-\tau'}(M^n)$ で平坦な $\mathbb{R}^n$ の計量に収束し、$\|\text{Rm}_{g(t)}\|_{L^\infty} = o(t^{-1})$ を満たす。
• 初期多様体 $M^n$ は、あらかじめこれを仮定しなくても $\mathbb{R}^n$ に微分同相である。
• ピンチング条件のもとで、フローに沿って曲率重み付きソボレフ不等式（定理C）が成り立ち、弱い最大原理の議論を可能にする。
• 回転対称性または共形平坦なAF多様体では、$L^{n/2}$-ノルムが $n$ のみに依存する正の定数で下から抑えられるため、ピンチング条件が空でないことが示される。
• この結果により、$\int_M |\text{Rm}|^{n/2} dV$ が小さいことだけでも、長期間にわたる存在性と平坦空間への収束が保証されることが示され、事前にソボレフ制御を仮定する必要がない。