[論文レビュー] Convergence of the Zipper algorithm for conformal mapping

Donald E. Marshall, Steffen Rohde|ArXiv.org|May 18, 2006

Analytic and geometric function theory参考文献 10被引用数 20

ひとこと要約

この論文は、ジョルダン領域に対して適用されたZipperアルゴリズムの収束性を証明しており、真の共形写像およびその逆写像に対して一様に近い近似を生成することを示している。境界の滑らかさとデータ点の間隔を用いた定量的誤差評価を確立し、円盤の鎖に対しては収束率が $\epsilon^p$（$p < 1/2$）であり、$K$-準円周に対しては$p$が1に近い収束率を示している。

ABSTRACT

In the early 1980's an elementary algorithm for computing conformal maps was discovered by R. Kühnau and the first author. The algorithm is fast and accurate, but convergence was not known. Given points z_0,...,z_n in the plane, the algorithm computes an explicit conformal map of the unit disk onto a region bounded by a Jordan curve γwith z_0,...,z_n \in γ. We prove convergence for Jordan regions in the sense of uniformly close boundaries, and give corresponding uniform estimates on the closed region and the closed disc for the mapping functions and their inverses. Improved estimates are obtained if the data points lie on a C^1 curve or a K-quasicircle. The algorithm was discovered as an approximate method for conformal welding, however it can also be viewed as a discretization of the Löwner differential equation.

研究の動機と目的

• 境界が一様に近い場合の共形写像に対するZipperアルゴリズムの厳密な収束性を確立すること。
• 閉単位円板および閉ジョルダン領域上で、共形写像とその逆写像の収束に対する一様な推定を提供すること。
• $C^1$曲線および$K$-準円周を含む滑らかな境界への収束結果の拡張と、改善された誤差推定の提供。
• アルゴリズムがロエヴナー微分方程式の正当な離散化であり、共形溶接の数値的解法であることを正当化すること。
• この作業以前に経験的に観察されていたが、証明がなされていなかった、アルゴリズムの数値的成功の理論的基盤を提供すること。

提案手法

• アルゴリズムは、双曲的測地線を用いてスリットが定義される半平面への基本的な写像の合成として共形写像を構築する。
• 線形分数変換、平方、平方根写像を用いて基本的な共形写像とその逆写像を生成する。
• 収束の証明には、単純接続領域における円板の双曲的凸性を保証するJørgensenの定理を用いる。
• 近似と境界への近接性を段階的に改善するため、補題3.5および3.6を用いた「自己改善」技術を用いる。
• 数値的逆写像の計算には、四面領域でニュートン法を適用し、2次収束を達成する。
• アルゴリズムはロエヴナー微分方程式の離散化として解釈され、連続的な共形写像理論と結びつける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 境界データが離散点で与えられたジョルダン領域に対して、Zipperアルゴリズムが真の共形写像に収束するか？
• RQ2 境界上のデータ点間隔$\epsilon$の観点から、アルゴリズムの収束速度はいかほどか？
• RQ3 境界の滑らかさの性質（$C^1$や$K$-準円周など）が、収束速度と誤差評価にどのように影響するか？
• RQ4 アルゴリズムは、共形写像とその逆写像を同時に一様な精度で計算できるか？
• RQ5 計算された境界と真の境界のハウスドルフ距離と、共形写像の均等距離の間にはどのような関係があるか？

主な発見

• 境界が半径$\leq \epsilon$の互いに交わらない円盤の鎖に含まれており、データ点が接点に配置されている場合、真の境界$\partial\Omega$と計算された境界$\partial\Omega_c$のハウスドルフ距離は$\epsilon$以下である。
• $K$-準円周で$K$が1に近い場合、データ点の間隔が$\epsilon$であれば、ハウスドルフ距離は$\epsilon$で有界であり、共形写像の収束速度は$\epsilon^p$（$p$が1に近い）である。
• 共形写像$\varphi$と$\varphi_c$の均等距離について、$\sup_{\Omega \cap \Omega_c} |\varphi - \varphi_c| \leq C\epsilon^p$が成り立ち、円盤の鎖の場合は任意の$p < 1/2$に対して成立する。
• $C^1$境界に対しては、計算された領域$\Omega_c$が$C^1$-滑らかであり、境界および単位接ベクトルが真のものと一様に近い。
• 逆写像に対しても一様収束が成立し、$K$-準円周の場合には$\sup_D |\varphi^{-1} - \varphi_c^{-1}| \leq C\epsilon^p$（$p$が1に近い）が成り立つ。
• 適切に分割された平面領域でニュートン法を適用することで、逆写像に対して2次収束が達成される。