[論文レビュー] Convergence of transport noise to Ornstein-Uhlenbeck for 2D Euler equations under the enstrophy measure

Franco Flandoli, Dejun Luo|arXiv (Cornell University)|Jun 25, 2018

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ひとこと要約

この論文は、輸送型ノイズを有する確率的2次元Euler方程式が、$ \varepsilon_N \sim 1/\sqrt{\log N} $に比例する発散するノイズ係数でスケーリングされた場合、2次元ナビエ＝ストークス方程式に弱収束することを確立している。収束はエンストロフィー測度の下で成立し、非線形項におけるキャンセレーション効果により、発散ノイズ補正を伴う双曲型確率的力学系が、放物型の極限挙動を示すことを示している。

ABSTRACT

We consider the vorticity form of the 2D Euler equations which is perturbed by a suitable transport type noise and has white noise initial condition. It is shown that, under certain conditions, this equation converges to the 2D Navier-Stokes equation driven by the space-time white noise.

研究の動機と目的

• ノイズ強度が対数的に発散する場合の、輸送型ノイズで摂動された2次元Euler方程式の極限挙動を調査すること。
• ノイズにおける発散するItô–ストラトニヴィッチ補正が、消える係数によって相殺され、放物型極限が得られるかどうかを特定すること。
• エンストロフィー測度の下で、確率的Euler解が空間時間白色ノイズで駆動されるナビエ＝ストークス方程式に弱収束することを確立すること。
• 不変測度枠組みにおける非線形ドリフト項の挙動を分析すること、特にその項が拡散部を上回ること。

提案手法

• 2次元Euler方程式を、ベクトル場 $ \sigma_k = \frac{1}{\sqrt{2}} \frac{k^\perp}{|k|^2} e_k $ で駆動されるストラトニヴィッチ型輸送ノイズを用いて渦度形式で定式化する。
• 発散するノイズ振幅を正則化するため、スケーリング係数 $ \varepsilon_N = \left( \sum_{|k| \leq N} |k|^{-2} \right)^{-1/2} \sim 1/\sqrt{\log N} $ を導入する。
• ストラトニヴィッチノイズをItô形式に変換するためのItô–ストラトニヴィッチ補正を適用し、極限においてラプラシアン型拡散項が現れることが明らかになる。
• ガラーキン近似を用いて関連するコルモゴロフ方程式を解き、不変測度を分析する。
• Sobolev空間 $ H^{-2-\delta} $ における分解公式と推定を用いて、非線形ドリフト項 $ b_N(\omega) $ の収束を制御する。
• 極限 $ N \to \infty $ において $ \mathbb{E}_\mu \left[ \| b_N(\omega) - b(\omega) \|_{H^{-2-\delta}}^2 \right] \to 0 $ を確立し、測度の弱収束を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2次元Euler方程式において $ \gamma = 2 $ の場合、ノイズ補正が発散するが、$ \varepsilon_N \sim 1/\sqrt{\log N} $ でスケーリングされた場合に、定義された極限が得られるか？
• RQ2 双曲型確率的Euler方程式が、空間時間白色ノイズで駆動される放物型ナビエ＝ストークス方程式に弱収束するか？
• RQ3 非線形ドリフト項は極限においてどのように振る舞い、不変測度枠組みにおいて拡散項に支配されるか？
• RQ4 エンストロフィー測度の下で、Sobolevノルムにおける非線形ドリフトの収束速度は何か？

主な発見

• ノイズが $ \varepsilon_N \sim 1/\sqrt{\log N} $ でスケーリングされた確率的2次元Euler方程式の解は、空間時間白色ノイズで駆動される2次元ナビエ＝ストークス方程式に弱収束する。
• 元の方程式が双曲型であるにもかかわらず、ノイズ補正におけるキャンセレーション効果により、極限方程式は放物型構造（ラプラシアン）を示す。
• 非線形ドリフト項 $ b_N(\omega) $ は $ L^2(\mu; H^{-2-\delta}) $ で $ b(\omega) $ に収束し、収束速度は $ \sum_{|j| \geq N} \frac{\log|j|}{|j|^{2+2\delta}} \to 0 $ で制御される。
• 生成子 $ \mathcal{L}_\infty $ の非線形部は、拡散部に支配されていない。実際、$ \mathbb{E}_\mu[\langle b(\omega), DF \rangle^2] \leq C|j|^2 \log|j| $ である一方、拡散部の寄与は僅か $ 4\pi^2|j|^2 $ にとどまる。
• 推定 $ \mathbb{E}_\mu[\|b_N - b\|_{H^{-2-\delta}}^2] \to 0 $ は、$ L^2 $-ノルムの制御とドミネート収束定理を用いて確立される。
• この結果により、エンストロフィー測度が極限ナビエ＝ストークス力学系に対して不変であり、$ \nu $ が小さすぎない限り収束が成立することが示された。