[論文レビュー] Convergence proof for the multigrid method of the nonlocal model

Minghua Chen, Weihua Deng|arXiv (Cornell University)|May 18, 2016

Numerical methods in engineering参考文献 19被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、メッシュサイズ $ h \to 0 $ の際に比 $ a_0/a_1 $ が有界でない非局所モデルに二グリッド法（TGM）を適用した場合の厳密な収束証明を提示する。対称トーペリッツ剛性行列をラプラシアンに類似した行列の和に分解することで、TGMの一様収束性を確立し、特定の条件下でフルマルチグリッドおよびVサイクルスキームへの解析を拡張した。数値実験により、2次精度と $ \mathcal{O}(N\log N) $ の計算複雑性が確認された。

ABSTRACT

Recently, nonlocal models attract the wide interests of scientist. They mainly come from two applied scientific fields: peridyanmics and anomalous diffusion. Even though the matrices of the algebraic equation corresponding the nonlocal models are usually Toeplitz (denote a0 as the principal diagonal element, a1 as the trailing diagonal element, etc). There are still some differences for the models in these two fields. For the model of anomalous diffusion, a0/a1 is uniformly bounded; most of the time, a0/a1 of the model for peridyanmics is unbounded as the stepsize h tends to zero. Based on the uniform boundedness of a0/a1, the convergence of the two-grid method is well established [Chan, Chang, and Sun, SIAM J. Sci. Comput., 19 (1998), pp. 516--529; Pang and Sun, J. Comput. Phys., 231 (2012), pp. 693--703; Chen, Wang, Cheng, and Deng, BIT, 54 (2014), pp. 623--647]. This paper provides the detailed proof of the convergence of the two-grid method for the nonlocal model of peridynamics. Some special cases of the full multigrid and the V-cycle multigrid are also discussed. The numerical experiments are performed to verify the convergence.

研究の動機と目的

• 非局所的ペリダイナミクスモデルにおける二グリッド法（TGM）の収束性を、$ h \to 0 $ の際に $ a_0/a_1 $ が有界でない場合に厳密に証明すること。異常拡散モデルとは異なり、この条件が成り立つ。
• 既存の収束証明が $ a_0/a_1 $ の有界性に依存するという制限を克服し、ペリダイナミクス系ではその仮定が成立しない状況に対処すること。
• 特定の構造的仮定の下で、フルマルチグリッド（FMGM）およびVサイクルマルチグリッド法への収束解析を拡張すること。
• 理論的結果を数値実験により検証し、最適な収束速度と計算効率を示すこと。

提案手法

• 非局所モデルの剛性行列をラプラシアンに類似した行列の和として表現し、その固有値的性質および条件数の解析を可能にする。
• TGMの収束証明は、これらのラプラシアンに類似した成分の性質、特に特定のノルムにおける一様有界性に立脚している。
• ガラーキンのコarsening戦略を用いて粗グリッド作用素を構築し、各レベル間での安定性と近似精度を保証する。
• フルマルチグリッド（FMGM）およびVサイクルマルチグリッドスキームの解析は、粗グリッド補正が一様収束条件を満たすものと仮定して行われた。
• 数値実験では、平滑化パラメータ $ \omega_{\text{pre}} = 1 $、$ \omega_{\text{post}} = 1/3 $ のVサイクルアルゴリズムを用い、残差ベースの停止基準 $ \|r^{(i)}\| / \|r^{(0)}\| < 10^{-8} $ を採用した。
• Galerkin法とメッシュサイズを倍加する戦略の2通りのコarsening手法を比較し、収束性と計算コストの観点からそのロバストネスを評価した。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $ h \to 0 $ の際に $ a_0/a_1 $ が有界でない場合でも、ペリダイナミクス非局所モデルに対して二グリッド法（TGM）が一様収束するか？
• RQ2 $ a_0/a_1 $ が有界でない状況下でも収束証明を可能にする剛性行列の構造的性質は何か？
• RQ3 同じ条件下でフルマルチグリッド法（FMGM）は一様収束性を維持するか？
• RQ4 特定のクラスのペリダイナミクス問題に対して、Vサイクルマルチグリッド法が一様収束性を達成できるか？
• RQ5 異なるコarsening戦略は、実際の収束速度と計算コストにどのように影響を与えるか？

主な発見

• $ a_0/a_1 $ が有界でない場合でも、ラプラシアンに類似した行列への分解を用いることで、ペリダイナミクス非局所モデルにおける二グリッド法（TGM）の均一収束性が証明された。
• 数値実験により、$ \delta = 1 $、$ \delta = \sqrt{h} $、$ \delta = 5h $、$ \delta = h $ のすべてのテスト値において、$ l_\infty $ ノルムで2次精度が確認され、収束率は2.0に近く一致した。
• マルチグリッドソルバーの計算コストは、$ \mathcal{O}(N\log N) $ に近いスケーリングを示し、グリッドレベル間での平均反復回数は安定した。
• Galerkin法とメッシュサイズ倍加戦略の両方で、ほぼ同一の精度と収束特性が得られ、CPU時間は $ N $ に対して線形に増加した。
• $ \delta = h $ の場合、TGMでは1レベルあたり平均18～23回、FMGMでは47～56回の反復回数が一定に保たれ、収束性のロバストネスが示された。
• 粗グリッド補正が必要な一様収束条件を満たす特殊な場合において、Vサイクルマルチグリッドの収束が確認されたが、条件式(52)の検証は未解決のままである。