[論文レビュー] Convergence Properties of Overlapping Schwarz Domain Decomposition Algorithms

Minh-Binh Tran|arXiv (Cornell University)|Apr 21, 2011

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 18被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、非線形楕円型および放物型方程式に対する重複スワーズ領域分割法の収束性を確立する。ディリクレ型伝達条件は、両方の方程式タイプに対して収束を保証するが、ロビン条件は放物型方程式でのみ収束する。非線形楕円型方程式に対してロビン条件を用いた場合の収束を達成するための新しい安定化条件を提案し、エネルギー推定と重み付きノルムを用いて示す。

ABSTRACT

In this paper, we partially answer open questions about the convergence of overlapping Schwarz methods. We prove that overlapping Schwarz methods with Dirichlet transmission conditions for semilinear elliptic and parabolic equations always converge. While overlapping Schwarz methods with Robin transmission conditions only converge for semilinear parabolic equations, but not for semilinear elliptic ones. We then provide some conditions so that overlapping Schwarz methods with Robin transmission conditions converge for semilinear elliptic equations. Our new techniques can also be potentially applied to others kinds of partial differential equations.

研究の動機と目的

• 非線形楕円型および放物型方程式に対するロビン型伝達条件を用いた重複スワーズ法の収束に関する未解決問題を解消すること。
• 非線形楕円型方程式に対して、最適化されたスワーズ法がロビン型伝達条件を用いて収束するための条件を確立すること。ここでは、従来、収束の証明がなされていなかった。
• 線形問題を超えて、一般の非線形方程式を複数の部分領域に適用する際の収束解析を、新規のエネルギーに基づく技法を用いて拡張すること。
• 古典的スワーズ法がディリクレ条件を用いる場合、楕円型および放物型方程式の両方で収束することを示すこと。一方、ロビン型法は楕円型問題では失敗することを示すこと。
• エネルギー推定とパラメータ依存ノルムに基づき、楕円型問題におけるロビン型法のための新規安定化機構を提供すること。

提案手法

• 重み付きソボレフ空間におけるエネルギー推定を用いて、重複スワーズアルゴリズムにおける反復間の誤差の進化を分析する。
• 誤差項の成長を制御するため、$ \lambda |\nabla \Phi^{k+1}|^2 $ と $ \alpha \Phi^{k+1}|^2 $ を含む重み付きノルムを適用する。
• 再帰的不等式 $ (\beta - M_5)E_{k+1} \leq M_5 E_k $ を導出する。ここで $ E_k $ は反復 $ k $ における誤差のエネルギーノルムであり、$ \beta $ および $ M_5 $ は部分領域の幾何構造と係数に依存する。
• $ \frac{M_5}{\beta - M_5} < 1 $ となるように $ \alpha $ と $ \beta $ に条件を課すことにより、誤差エネルギー $ E_k $ の指数的減少を保証する。
• 非線形項および対流型項を支配するように $ \alpha $ を十分に大きく選ぶことにより、安定化機構を導入する。
• 放物型の場合に、最大原理と上解・下解技術を用いた、既知の収束系との比較的証明を適用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非線形楕円型方程式に対して、ロビン型伝達条件を用いた重複スワーズ法が収束する条件は何か？
• RQ2 非線形楕円型方程式では、放物型および線形の場合に成功したロビン型最適化スワーズ法がなぜ収束しないのか？
• RQ3 非線形楕円型方程式に適用するロビン型法の収束を回復するための新しい安定化技術を開発可能か？
• RQ4 放物型方程式の時間変数は、なぜ楕円型問題では失敗するのに対し、収束を可能にするのか？
• RQ5 伝達パラメータおよび部分領域の重複度が、スワーズ反復の安定性および収束に果たす役割は何か？

主な発見

• ディリクレ型伝達条件を用いた重複スワーズ法は、非線形楕円型および放物型方程式の両方で収束する。
• ロビン型伝達条件を用いた重複スワーズ法は、時間減衰効果のおかげで非線形放物型方程式では収束する。
• 非線形楕円型方程式では、一般にロビン型法は収束しない。特定の方程式に対して不安定性を示す反例が提示されている。
• 新規安定化条件として、$ \alpha > (\max ||B_i^l||_{L^\infty})^2 $ と選ぶことで、楕円型問題の収束を回復できることが導出された。
• エネルギーノルム $ E_k $ は $ E_k \leq \left(\frac{M_5}{\beta - M_5}\right)^{k-1} E_1 $ として指数的に減少し、$ \frac{M_5}{\beta - M_5} < 1 $ であるため、収束が証明される。
• 収束証明は、部分領域の幾何構造および方程式係数にのみ依存する定数を用いた、重み付き $ L^2 $ および $ H^1 $ ノルムによる誤差進化のバインディングに依存する。