[論文レビュー] Convergence rate and acceleration of Clenshaw-Curtis quadrature for functions with endpoint singularities

Haiyong Wang|arXiv (Cornell University)|Jan 3, 2014

Mathematical functions and polynomials参考文献 18被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、Clenshaw-Curtis求積法が、$X^s$ に属する端点特異性を有する関数に対して $")$ に達する。これは、従来の推定値 $")$ よりも一回高い収束速度を達成している。本稿では、漸近的誤差展開を導出し、特にノードがネスト構造を有し、FFTで効率的に計算可能な重みを持つことから、リチャードソン補外を用いた収束加速が特に有効であることを示している。

ABSTRACT

In this paper, we investigate the rate of convergence of Clenshaw-Curtis quadrature and its acceleration for functions with endpoint singularities in X^s, where X^s denotes the space of functions whose Chebyshev coefficients decay asymptotically as a_k = O(k^{-s-1}) for some positive s. For such unctions, we show that the convergence rate of (n + 1)-point Clenshaw-Curtis quadrature is O(n^{-s-2}). Furthermore, an asymptotic error expansion for Clenshaw-Curtis quadrature is presented which enables us to employ some extrapolation techniques to accelerate its convergence. Numerical examples are provided to confirm our analysis.

研究の動機と目的

• 代数的または代数対数的端点特異性を有する被積分関数に対するClenshaw-Curtis求積法の収束速度を調査すること。
• 特に標準的な境界が不足する場合に、$X^s$ に属する関数の収束速度推定値のギャップを埋めること。
• 収束加速のための補外技術を可能にする、漸近的誤差展開を導出すること。
• Clenshaw-Curtis求積法が、ノードがネスト構造を有し、FFTで計算可能な重みを持つことから、特異被積分関数に対してGauss-Legendre求積法よりも優位であることを示すこと。

提案手法

• $X^s$ を、チェビシェフ係数が $a_k = \mathcal{O}(k^{-s-1})$ のように減衰する関数の空間として定義し、滑らかさと減衰率の関係を結びつける。
• $f(x) = (1-x)^\alpha(1+x)^\beta g(x)$ に対して、$(n+1)$ 点のClenshaw-Curtis求積法の収束速度を分析する。ここで $\alpha, \beta \geq 0$ であり、両方が整数でない。$g \in C^\infty[-1,1]$ とする。
• 偶数 $n$ に対して、代数的特異性および代数対数的特異性の両方に対して、$n$ の負のべきの漸近的誤差展開を導出する。
• 導出された漸近的誤差展開を用いて、リチャードソン補外を求積結果に適用し、収束速度を $\mathcal{O}(n^{-d_q - 1})$ に加速する。
• 逆FFTを用いて、$\mathcal{O}(n\log n)$ 演算でClenshaw-Curtis重みを効率的に計算する。
• 既知の特異性を有するテスト関数を用いて理論的結果を数値的に検証し、Gauss-Legendre求積法と比較する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $X^s$ に属する端点特異性を有する関数に対するClenshaw-Curtis求積法の最適収束速度は何か？
• RQ2 代数的または代数対数的特異性の存在が、滑らかな関数と比較して収束速度に与える影響は何か？
• RQ3 Clenshaw-Curtis求積法に対して、効果的な収束加速を可能にする漸近的誤差展開を導出できるか？
• RQ4 リチャードソン補外を特異被積分関数を有するClenshaw-Curtis求積法に適用した場合、収束速度はどの程度向上するか？
• RQ5 ノードのネスト構造と計算効率を考慮すると、特異被積分関数に対してClenshaw-Curtis求積法とGauss-Legendre求積法の収束特性はどのように比較されるか？

主な発見

• $(n+1)$ 点のClenshaw-Curtis求積法が、$X^s$ に属する端点特異性を有する関数に対して $")$ を達成する。これは、従来の境界 $")$ よりも向上している。
• 関数 $f(x) = (1-x)^\alpha(1+x)^\beta \log(1-x) g(x)$ が代数対数的特異性を有する場合、$")$ が成り立つ。
• 偶数 $n$ に対して、$n$ の負のべきの漸近的誤差展開が導出され、リチャードソン補外などの補外技術の使用が可能になる。
• リチャードソン補外スキーム $R(q,n)$ は、特異性の強さに依存する $d_q$ を用いて $")$ の収束速度を達成する。$d_q$ は、異なる状況に対して明示的に決定される。
• 数値例により、Clenshaw-Curtis求積法の収束速度が、さまざまな $\alpha$、$\beta$、$s$ の値に対して理論的推定値 $")$ と一致することが確認された。
• 類似した漸近的収束速度を有するが、ノードのネスト構造とFFTベースの重み計算の効率性から、特異被積分関数に対してClenshaw-Curtis求積法はGauss-Legendre求積法よりも優位である。