[論文レビュー] Convergence rate of EM algorithm for SDEs under integrability condition

Jianhai Bao, Xing Huang+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 10, 2020

Stochastic processes and financial applications参考文献 29被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、片持ちリプシッツ連続性を要件としない、ドリフト項の可積分性条件下における多次元確率微分方程式（SDE）に対するEuler-Maruyama（EM）アルゴリズムの収束速度を確立する。ガウス型熱核推定、KrylovおよびKhasminskiiの推定、Zvonkinの変換を用いることで、近似誤差の $ \beta $-次のモーメントの収束速度が $ \delta^{\frac{\beta}{2}(1 \land \frac{\alpha}{2})} $ であることが導かれる。これは、より特異なドリフト項を許容する既存の結果の拡張である。

ABSTRACT

In this paper, by employing Gaussian type estimate of heat kernel, we establish Krylov's estimate and Khasminskill's estimate for EM algorithm. As applications, by taking Zvonkin's transformation into account, we investigate convergence rate of EM algorithm for a class of multidimensional SDEs under integrability conditions, where the drifts need not to be piecewise Lipschitz and are much more singular in some sense.

研究の動機と目的

• ドリフト項が一般に区分的リプシッツ連続でない場合の多次元SDEに対するEuler-Maruyama（EM）スキームの収束速度を調査すること。
• ドリフト項の正則性仮定を弱めるために、特に条件(A2)によるホルダー型制御を許容する既存の収束結果を拡張すること。
• 先行研究[28]で要請されていた片側リプシッツ条件を排除しつつ、[29]の1次元結果を多次元に一般化すること。
• ドリフト項に最小限の仮定を置いた状況下で、Zvonkinの変換や熱核推定といった高度な確率的道具を用いて、EMスキームのモーメント収束速度を確立すること。

提案手法

• ガウス型熱核推定を用いて、EMスキームに対するKrylovおよびKhasminskiiの推定を導出する。
• Zvonkinの変換を適用してSDEを正則化し、可積分性条件下でのドリフト項の不規則性を制御する。
• 局所的 $ L^p $-意味でのドリフトのホルダー型振動を制御するための条件(A2)を導入し、区分的リプシッツ連続性を仮定しない解析を可能にする。
• テイラー展開と遷移密度推定を用いて、EMプロセスの真の遷移密度と近似遷移密度の差を評価する。
• ヒルベルト＝シュミットノルム推定と指数モーメント制御を用いて、密度展開における3階微分項の境界を導出する。
• すべての推定を組み合わせて、EM近似誤差の $ \beta $-次のモーメントに対する境界を導出し、最終的な収束速度を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ドリフト項が区分的リプシッツ連続でない場合、多次元SDEに対するEuler-Maruyamaスキームの収束速度はいかほどか？
• RQ2 片側リプシッツ連続性よりも弱い条件下、特に可積分的かつ特異なドリフト項に対して、収束速度を確立できるか？
• RQ3 ドリフト項に正則性が欠ける状況下で、Zvonkinの変換はEM収束解析をどのように支援するか？
• RQ4 可積分性条件下で、熱核推定とKrylov／Khasminskiiの推定は、EMスキームの誤差をどのように制御するか？
• RQ5 ドリフトのホルダー指数 $ \alpha $ と可積分性インデックス $ p $ を用いて、収束速度を定量的に評価できるか？

主な発見

• 条件(A1)～(A3)の下で、$ \beta \in (0,2) $ に対して、EMスキームの収束速度は $ \delta^{\frac{\beta}{2}(1 \land \frac{\alpha}{2})} $ である。
• 収束速度はドリフトのホルダー正則性 $ \alpha $ に依存し、$ \alpha \geq 2 $ の場合には改善され、$ \alpha < 2 $ の場合には $ \delta^{\beta/2} $ に簡略化される。
• 境界は $ |b|^2 $ の $ L^p $ ノルムに依存し、$ \|b\|_{L^p}^{\gamma_0} $ を含む指数因子を有する。ここで $ \gamma_0 = \frac{1}{1 - 1/q - d/2p} $ である。
• 本手法は[28]で用いられた片側リプシッツ条件を回避し、[29]の1次元結果を非滑らかドリフトを有する多次元SDEに一般化する。
• 解析は、EMプロセスの遷移密度の精密な推定に依存しており、1階および2階勾配、および3階摂動の境界が含まれる。
• 最終的な誤差境界は、密度差を3つの成分に分解し、それぞれを熱核の性質と行列ノルム推定を用いて制御することで得られる。