[論文レビュー] Convergence rate of stability problems of SDEs with (dis-)continuous coefficients

Hashimoto Hashimoto, Takahiro Tsuchiya|arXiv (Cornell University)|Jan 18, 2014

Stochastic processes and financial applications参考文献 6被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、ナカオ＝レガール条件を満たす（不）連続な拡散係数をもつ1次元確率微分方程式（SDE）の安定性における明示的な収束速度を確立する。ヤマダ＝ワタナベ法を用いて、$L^1$-誤差に関して $(\log n)^{-1/2}$ 階、$L^p$-本質的上限誤差に関して $(\log n)^{-p/(4(p+1))}$ 階のバインディングを導出する。両者とも、係数の $L^1$ 収束速度 $n^{-1}$ の下で、ドリフト除去に対して不変である。

ABSTRACT

We consider the stability problems of one dimensional SDEs when the diffusion coefficients satisfy the so called Nakao-Le Gall condition. The explicit rate of convergence of the stability problems are given by the Yamada-Watanabe method without the drifts. We also discuss the convergence rate for the SDEs driven by the symmetric $α$ stable process. These stability rate problems are extended to the case where the drift coefficients are bounded and in $L^1$. It is shown that the convergence rate is invariant under the removal of drift method for the SDEs driven by the Wiener process.

研究の動機と目的

• （不）連続な拡散係数をもつSDEの解の収束速度を、ナカオ＝レガール条件の下で分析すること。
• 対称 $\alpha$-安定過程（$\alpha \in (1,2)$）によって駆動されるSDEに安定性結果を拡張すること。
• 有界な $L^1$ ドリフト係数が収束速度に与える影響を調査し、ドリフト除去に対して不変であることを示すこと。
• $L^1$ および $L^p$ ノルムにおける収束速度の明示的定量的バインディングを提供すること。

提案手法

• ナカオ＝レガール条件を満たす拡散係数をもつSDEに対して、ヤマダ＝ワタナベ法を適用し、経路ごとの推定を導出する。
• $s(x) = \int_0^x \sigma(u)^{-2} du$ の変換を用いて、SDEを時間変換付き Browmian 動作の枠組みに還元する。
• 係数 $\sigma_n$ が $\sigma$ に $n^{-1}$ 速度で一様収束することを用いて、スケール関数 $s_n^{-1}$ と $s^{-1}$ の差のバインディングを確立する。
• 変数変換技術と $L^1$-ノルム推定を用いて、スケール関数の導関数およびその合成関数の差を制御する。
• ナカオ＝レガール条件における二次変動構造を扱うために、関数 $f$ を近似する増加関数列 $\{f_l\}$ を用いる。
• ドリフト除去法を適用し、ウィーナー過程駆動SDEにおいて、収束速度がドリフト除去に対して不変であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ナカオ＝レガール条件を満たす（不）連続な拡散係数をもつSDEの解の収束速度は何か？
• RQ2 SDEがウィーナー過程の代わりに対称 $\alpha$-安定過程によって駆動される場合、収束速度はどのように変化するか？
• RQ3 SDEのドリフト係数が削除された場合、収束速度は元のまま保たれるか？
• RQ4 $L^1$-収束速度 $n^{-1}$ の下で、明示的な $L^1$ および $L^p$ 収束速度を導出できるか？

主な発見

• ドリフトなしSDEについて、$\sigma_n, \sigma \in \mathcal{C}_{NL}(\epsilon, \|f\|_\infty)$ ならば、任意の $0 \leq t \leq T$ に対して $\mathbb{E}[|X(t) - X_n(t)|] \leq C_1 (\log n)^{-1/2}$ が成り立つ。
• $p > 1$ に対して、$L^p$-本質的上限誤差は、$n > 2$ のとき $\mathbb{E}[\sup_{0 \leq t \leq T} |X(t) - X_n(t)|^p] \leq C_p (\log n)^{-p/(4(p+1))}$ を満たす。
• ウィーナー過程駆動SDEにおいて、ドリフトが有界かつ $L^1$ に属するとき、収束速度はドリフト除去に対して不変である。
• 対称 $\alpha$-安定過程（$\alpha \in (1,2)$）によって駆動されるSDEに対しても、同様の収束速度が、類似した係数収束条件の下で確立される。
• $\int_{\mathbb{R}} |\sigma_n(x) - \sigma(x)| dx \leq C_0 n^{-1}$ の $L^1$-収束条件の下で、収束速度は保持される。
• 有界な $L^1$ ドリフトをもつSDEに対しても結果は拡張可能であり、ドリフト除去後も収束速度は変わらず、ドリフト除去法により示された。