[論文レビュー] Convergence rates for an optimally controlled Ginzburg-Landau equation

Mattias Sandberg|ArXiv.org|Sep 10, 2008

Numerical methods in inverse problems参考文献 15被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、無限次元のハミルトニアン・ジャコビ方程式の可視解理論を用いて、ギンツブルグ＝ランダウ方程式に従う最適制御問題における空間離散化された価値関数が真の価値関数へ2次収束することを確立している。時間離散化にはシンプレクティック・オイラー法を用い、空間分解能に依存しない定数を伴う1次収束が、妥当な安定性条件の下で達成される。

ABSTRACT

An optimal control problem related to the probability of transition between stable states for a thermally driven Ginzburg-Landau equation is considered. The value function for the optimal control problem with a spatial discretization is shown to converge quadratically to the value function for the original problem. This is done by using that the value functions solve similar Hamilton-Jacobi equations, the equation for the original problem being defined on an infinite dimensional Hilbert space. Time discretization is performed using the Symplectic Euler method. Imposing a reasonable condition this method is shown to be convergent of order one in time, with a constant independent of the spatial discretization.

研究の動機と目的

• 確率的ギンツブルグ＝ランダウ方程式に関連する最適制御問題における空間的および時間的離散化の収束を分析すること。
• 空間離散化された問題の価値関数が、元の無限次元問題の価値関数へ2次収束することを確立すること。
• 空間離散化に依存しない定数を伴うシンプレクティック・オイラー法を用いた時間離散化における1次収束を示すこと。
• 無限次元ハミルトニアン・ジャコビ方程式の可視解理論に基づく厳密な誤差解析を提供すること。
• 熱的駆動型相転移における遷移確率の数値計算を最適制御を用いて支援すること。

提案手法

• 状態が制御されたギンツブルグ＝ランダウPDEに従うコスト関数を最小化する最適制御問題を定式化する。このコスト関数には最終状態に対するペナルティ項が含まれる。
• ディリクレ境界条件を伴うラプラシアンが生成する半群を用いて、弱解（ミルド解）を定義する。
• 無限次元ハミルトニアン・ジャコビ方程式の可視解理論を適用し、価値関数の収束を分析する。
• 空間半離散化を実装し、離散化された価値関数が連続な価値関数へ2次収束することを証明する。
• 時間離散化にシンプレクティック・オイラー法を用い、安定性条件の下で1次収束を確立する。
• 収縮写像の議論とエネルギー推定を用いて、適切な関数空間内での解の存在、一意性、有界性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 空間半離散化された最適制御問題の価値関数が、元の無限次元問題の価値関数へどの程度の速度で収束するか？
• RQ2 この最適制御問題の文脈において、シンプレクティック・オイラー法による時間離散化の収束速度は何か？
• RQ3 無限次元において、可視解理論を用いて制御されたギンツブルグ＝ランダウ方程式の価値関数を厳密に分析できるか？
• RQ4 時間離散化誤差は、空間離散化パラメータに依存せずに有界のまま保たれるか？
• RQ5 解が元のポテンシャルの井戸内に留まるための条件は何か？これにより制御定式化の有効性が保証される。

主な発見

• 空間離散化された価値関数は、 essentially 2次収束する。収束の尺度は、上界ノルム（supremum norm）である。
• シンプレクティック・オイラー法は、空間離散化パラメータに依存しない定数を伴う最適制御問題において、時間方向に1次収束を達成する。
• 元の問題の価値関数は、可視解の意味で無限次元ハミルトニアン・ジャコビ方程式を満たし、収束解析が可能になる。
• 初期データが $ H_0^1 $ に属する場合、制御が有界であると仮定すると、$ C(t_0, T; H_0^1) $ 内で制御されたPDEの弱解が存在し、一意に定まる。
• エネルギー推定とソボレフ埋め込みにより、解が上界ノルムで有界に保たれ、元の二重井戸ポテンシャルを変更せずに使用可能になる。
• 空間離散化の誤差境界は、解の $ H^1 $-ノルムを制御するエネルギー不等式から導出され、$ L^rown $-ノルムにおいて一様な有界性が得られる。