[論文レビュー] Convergence rates for empirical barycenters in metric spaces: curvature, convexity and extendible geodesics

Adil Ahidar-Coutrix, Thibaut Le Gouic+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 7, 2018

Geometric Analysis and Curvature Flows被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、測度空間における経験的バリセンターの収束速度を、経験過程理論と測度幾何学を結ぶ分散不等式条件を用いて確立する。非正曲率空間では、一般に分散不等式が成り立ち、非負曲率空間—例えば2-Wasserstein空間—では、バリセンターからの測地線が定数倍に拡張可能である場合にのみ、これらの不等式が有効である。これにより、最適な$ O(1/n) $の収束速度が達成可能である。

ABSTRACT

This paper provides rates of convergence for empirical (generalised) barycenters on compact geodesic metric spaces under general conditions using empirical processes techniques. Our main assumption is termed a variance inequality and provides a strong connection between usual assumptions in the field of empirical processes and central concepts of metric geometry. We study the validity of variance inequalities in spaces of non-positive and non-negative Aleksandrov curvature. In this last scenario, we show that variance inequalities hold provided geodesics, emanating from a barycenter, can be extended by a constant factor. We also relate variance inequalities to strong geodesic convexity. While not restricted to this setting, our results are largely discussed in the context of the $2$-Wasserstein space.

研究の動機と目的

• 抽象的測度空間における経験的一般化バリセンターの非漸近的収束速度を導出すること。
• 分散不等式—経験過程制御の鍵となるもの—が測度空間で成立する幾何的条件を同定すること。
• 曲率（非正対非負）および測地線の延長可能性が収束を保証する役割を分析すること。
• 分散不等式と測度空間における強い測地的凸性との間の関係を確立すること。
• フレームワークを2-Wasserstein空間に適用し、最適輸送および統計分野における中心的例としての応用を検討すること。

提案手法

• 経験過程理論と測度幾何学を結ぶ統一的仮定として、分散不等式条件を導入する。
• 接錐構成と対数写像を用いて、バリセンター周辺の測度空間構造を線形化する。
• アレクサンドロフ曲率の上限と測地線の延長性質といった測度幾何学的道具を用いて、分散不等式の検証を行う。
• 経験過程技法を用いて、経験的リスクとその期待値との乖離を制御する。
• 非正曲率空間では、モーメント条件のもとで分散不等式が条件なしに成立することを示す。
• 非負曲率空間では、バリセンターからの測地線が定数倍に拡張可能である場合にのみ、分散不等式が成立することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 測度空間における幾何的条件は何か？ その条件下で経験的バリセンターは最適な速度で収束するか？
• RQ2 測度空間の曲率（正または負）は、分散不等式の有効性にどのように影響するか？
• RQ3 バリセンターからの測地線の延長可能性は、収束速度を保証するために果たす役割は何か？
• RQ4 分散不等式は、測度空間における強い測地的凸性とどのような意味で同値または関連するか？
• RQ5 このフレームワークは2-Wasserstein空間に適用可能か？ その場合、達成可能な収束速度は何か？

主な発見

• 非正曲率をもつ測地的測度空間では、モーメント条件のもとで分散不等式が条件なしに成立し、$ O(1/n) $のオーダーの収束速度が達成可能である。
• 2-Wasserstein空間などの非負曲率空間では、バリセンターからの測地線が定数倍に拡張可能である場合にのみ、分散不等式が成立する。
• 延長可能性条件により、バリセンター付近での測度構造が十分に線形的になるため、経験過程の制御が可能になる。
• 本稿では、分散不等式と強い測地的凸性との直接的な関係を確立し、弱い条件下でも前者が後者を意味することを示した。
• 2-Wasserstein空間では、結果として、経験的バリセンターの有限標本収束速度が得られ、$ f $-divergence や Sinkhorn 損失に対しても適用可能である。
• このフレームワークは2-Wasserstein空間を越えて広く適用可能であり、非ユークリッド的測度空間における統計的解析の一般化されたツールを提供する。