[論文レビュー] Convergence rates of maximal deviation distribution for projection estimates of Lévy densities

Valentin Konakov, Vladimir Panov|arXiv (Cornell University)|Nov 18, 2014

Stochastic processes and financial applications参考文献 20被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、ガウス過程近似と通行集合解析に基づく統一的枠組みを用いて、高周波設定下におけるLévy密度の射影推定量の最大偏差分布の多項式収束速度を確立する。極値理論を応用し、正規化された最大偏差の極限分布が多項式速度でGumbel分布に収束することを証明し、従来の対数的収束速度を改善する。

ABSTRACT

In this paper, we consider projection estimates for Lévy densities in high-frequency setup. We give a unified treatment for different sets of basis functions and focus on the asymptotic properties of the maximal deviation distribution for these estimates. Our results are based on the idea to reformulate the problems in terms of Gaussian processes of some special type and to further analyze these Gaussian processes. In particular, we construct a sequence of excursion sets, which guarantees the convergence of the deviation distribution to the Gumbel distribution. We show that the rates of convergence presented in previous articles on this topic are logarithmic and construct the sequences of accompanying laws, which approximate the deviation distribution with polynomial rate.

研究の動機と目的

• 高周波設定下におけるLévy密度の射影推定量の最大偏差分布の漸近的挙動を分析すること。
• 三角関数、ルジャンドル、ウェーブレット基底といった異なる基底関数を、共通の解析的枠組みで統一的に取り扱うこと。
• 適切な同伴分布の系列を構築することで、既存の対数的収束速度を上回る多項式収束速度を達成すること。
• 適切な通行集合の構築を通じて、最大偏差分布がGumbel分布に収束することを確立すること。
• バイアスとバリアンス成分を組み込んだ非漸近的解析を通じて、推定量と真の密度との乖離を分析すること。

提案手法

• 基底関数によってインdeuxされたガウス過程として最大偏差問題を再定式化し、極値理論の応用を可能にする。
• ガウス過程の通行集合の系列を構築し、偏差分布がGumbel分布に収束するように保証する。
• ピケンズの定理とテイラー展開を用いて、過程の初回通過時刻の漸近的挙動を分析する。
• 共分散関数に対する局所的均質性およびグローバルホルダー条件を適用し、過程の標本パス挙動を制御する。
• Lévy過程の小時間漸近的挙動と基底関数のモーメント条件を用いて、バイアスとバリアンスのバウンドを導出する。
• 濃度不等式と基底関数の構造（例えば、ルジャンドル多項式、ウェーブレットなど）を用いて、偏差の一様バウンドを確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 射影推定量と真のLévy密度との間の最大偏差分布の収束速度は何か？
• RQ2 一般の基底関数のもとで、正規化された最大偏差の極限分布がGumbel分布に収束することが示せるか？
• RQ3 既存の対数的収束速度と、提案する多項式収束速度との間で、収束速度にどのような差があるか？
• RQ4 三角関数、ルジャンドル、ウェーブレット基底などの基底関数にどのような条件を課すと、漸近的近似の有効性が保証されるか？
• RQ5 推定量のバイアス項を定義域全体にわたり一様に制御できるか、これにより全体の収束速度が保証されるか？

主な発見

• 射影推定量の最大偏差分布は、多項式速度でGumbel分布に収束し、従来の対数的収束速度を改善する。
• ルジャンドル多項式基底の場合、明示的な展開を有する同伴分布の構築により、偏差分布の収束速度が多項式であることが示される。
• 推定量のバイアス項は $ \breve{c} n^{(3\varkappa/2)-1} m^{1/2} $ でバウンドされ、$ m $ と $ n $ の適切な選択のもとで無視可能となる。
• 正規化された最大偏差は $ \mathbb{P}\left\{ \sqrt{\frac{T}{m}} \sup_{x\in D} \frac{|\hat{s}_n(x) - \mathbb{E}\hat{s}_n(x)|}{\sqrt{s(x)}} \leq u_m \right\} \to e^{-2e^{-y}} $ を満たし、Gumbel収束を確認する。
• 同伴分布の系列 $ W_m $ は $ W_m \to -2e^{-y}(1 + R(m)) $ となるように構築され、$ R(m) \to 0 $ が多項式速度で収束する。
• 証明により、コンパクト集合上で一様収束が確立され、誤差バウンドが $ O(n^{-\lambda}) $ の速度で減少するGumbel極限法則の適用が可能となる。