[論文レビュー] Convergence rates of spectral orthogonal projection approximation for functions of algebraic and logarithmatic regularities

Shuhuang Xiang|arXiv (Cornell University)|Jun 2, 2020

Mathematical functions and polynomials参考文献 23被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、ヒルブ型の公式とヴァン・デル・コーポット補題を活用することで、代数的および対数的特異性を有する関数のスペクトル直交射影（ジャコビ、ゲンゲンバウアー、チェビシェフ）の最適収束速度を導出する。境界特異性の場合、ジャコビパラメータ $(\alpha,\beta)$ もしくはゲンゲンバウアーのパラメータ $\lambda$ を増加させることで収束速度が向上し、レジェンドル射影はチェビシェフ射影よりも半次の収束速度を達成する。一方、内部特異性の場合は、これらのパラメータに依存しない収束が得られる。

ABSTRACT

Based on the Hilb type formula between Jacobi polynomials and Bessel functions, optimal decay rates on Jacobi expansion coefficients are derived, by applying van der Corput type lemmas, for functions of logarithmatic singularities, which leads to the optimal convergence rates on the Jacobi, Gegenbauer and Chebyshev orthogonal projections. It is interesting to see that for boundary singularities, one may get faster convergence rate on the Jacobi or Gegenbauer projection as $(α,β)$ and $λ$ increases. The larger values of parameter, the higher convergence rates can be achieved. In particular, the Legendre projection has one half order higher than Chebyshev. Moreover, if $\min\{α,β\}>0$ and $λ>\frac{1}{2}$, the Jacobi and Gegenbauer orthogonal projections have higher convergence orders compared with Legendre. While for interior singularity, the convergence order is independent of $(α,β)$ and $λ$.

研究の動機と目的

• 代数的および対数的特異性を有する関数のスペクトル直交射影の最適収束速度を確立すること。
• 境界特異性と内部特異性の両方において、ジャコビパラメータ $(\alpha,\beta)$ およびゲンゲンバウアーのパラメータ $\lambda$ が収束速度に与える依存関係を分析すること。
• 対数的または分数的特異性を有する関数に対して、従来のフレームワークで観察された非最適な収束を、新たな漸近的解析によって改善すること。
• 一般化された分数階のゲンゲンバウアー関数への解析を拡張し、展開係数に対して鋭い評価を与えること。

提案手法

• ジャコビ多項式とベッセル関数を結ぶヒルブ型の公式を用いて、ジャコビ展開係数の漸近的推定を導出する。
• 特異関数から生じる振動的積分を解析するため、ヴァン・デル・コーポット型の補題を適用する。
• 端点特異性 $(1\pm x)^\gamma \ln^\mu(1\pm x)$ および内部特異性 $|x-z_0|^s \ln^\mu|x-z_0|$ を有する関数の係数の減衰率を確立する。
• 係数の減衰を、$\Omega = (-1,1)$ における重み付きソボレフノルム $H^{m,\alpha,\beta}(\Omega)$ での収束速度に翻訳する。
• パラメータ関係 $\alpha = \beta = \lambda - 1/2$ および $\alpha = \beta = -1/2$ を用いて、ゲンゲンバウアーおよびチェビシェフ射影の最適推定を導出する。
• 特異点の分離と最小最大係数評価を用いて、複数の特異点を有する一般関数への結果の拡張を行う。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 端点または内部点に対数的特異性を有する関数に対して、ジャコビ、ゲンゲンバウアー、チェビシェフ射影の収束速度はどのように振る舞うか？
• RQ2 境界特異性と内部特異性の両方において、パラメータ $\alpha$, $\beta$, $\lambda$ が収束速度に与える依存関係は何か？
• RQ3 従来のフレームワークで観察された対数的特異性に対する非最適な収束は、新たな漸近的解析によって改善可能か？
• RQ4 関数 $|x - z_0|^s \ln^\mu|x - z_0|$ 特異性を有する場合の展開係数の最適減衰速度は何か？
• RQ5 正則性および特異性の条件が変化する条件下で、レジェンドル、チェビシェフ、一般ジャコビ射影の収束次数はどのように比較されるか？

主な発見

• 境界特異性 $f(x) = (1-x)^\gamma \ln^\mu(1-x)g(x)$ に対して $g \in C^\infty[-1,1]$ の場合、ジャコビ射影の収束は $\mathcal{O}(N^{m - \alpha - 2\gamma - 1} \ln^\mu N)$ であり、$\alpha$ が大きいほど向上する。
• レジェンドル射影（$\alpha = \beta = 0$）は、チェビシェフ射影よりも半次の収束速度を達成し、$\mathcal{O}(N^{m - 1/2 - 2\gamma} \ln^\mu N)$ となる。
• $\min\{\alpha,\beta\} > -1/2$ かつ $\lambda > 1/2$ のとき、ジャコビおよびゲンゲンバウター射影は収束次数においてレジェンドル射影を上回る。
• 内部特異性 $f(x) = |x - z_0|^s \ln^\mu|x - z_0|g(x)$ の場合、収束速度は $\mathcal{O}(N^{m - s - 1/2} \ln^\mu N)$ であり、$\alpha$, $\beta$, $\lambda$ に依存しない。
• $\gamma, \delta$ が整数で $\mu \geq 1$ のとき、対数因子は $\ln^{\mu-1} N$ に簡略化され、端点特異性の収束が改善される。
• 特異点の分離を用いて複数の特異点への拡張が可能であり、各特異点寄与の最小値を含む係数減衰率が得られる。