[論文レビュー] Convergence rates of truncated EM scheme for NSDDEs

Li Tan, Chenggui Yuan|arXiv (Cornell University)|Jan 18, 2018

Numerical methods for differential equations参考文献 6被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、ブラウン運動および純ジャンプ過程によって駆動される中立型確率微分遅延方程式（NSDDEs）に、切り捨てられたオイラー＝マルヤメ（EM）スキームを適用した際の収束速度を確立している。局所リプシッツおよび片側リプシッツ条件に加え、カシミンスキー型の成長条件を満たす場合、著者らは強収束速度 $ O(\Delta^{1/2} \overline{g}(\Delta)^p) $ を証明しており、$ \overline{g}(\Delta) $ は切り捨て閾値を制御する。非グローバルリプシッツ係数を有するNSDDEsに対して、頑健な数値的手法を提供する。

ABSTRACT

This paper is concerned with strong convergence of the truncated Euler-Maruyama scheme for neutral stochastic differential delay equations driven by Brownian motion and pure jumps respectively. Under local Lipschitz condition, convergence rates of the truncated EM scheme are given.

研究の動機と目的

• 非グローバルリプシッツ係数を有する中立型確率微分遅延方程式（NSDDEs）に対して、数値的に安定かつ収束するスキームの開発を目的とする。
• 従来、SDEsに用いられてきた切り捨てられたEM法を、ブラウン運動および純ジャンプ過程によって駆動されるNSDDEsに拡張することを目的とする。
• 局所リプシッツおよび片側リプシッツ条件の下で、明示的な収束速度を導出することを目的とし、カシミンスキー型の成長条件を含む。
• 数値解が有限時間内に発散を避けるために、モーメント有界性を保証することを目的とし、特に非線形成長を示す係数に対しても有効である。

提案手法

• 大きな値における係数の有界性を保証するため、関数 $ f^{-1}(g(\Delta)) $ を用いて、ドリフト項および拡散項の係数を切り捨てることで、切り捨てられたEMスキームを提案する。
• 正確な解の成長を制御するための停止時刻 $ \tau_R $ を導入し、大偏差の確率を抑えるためにモーメント推定を用いる。
• 伊藤の公式およびグロワールド型不等式を用いて、正確な解および数値解の両方のモーメントバウンドを導出する。
• 切り捨て閾値を制御する関数 $ \overline{g}(\Delta) $ を導入し、最終的な収束速度推定式に現れる。
• 解の存在、一意性、モーメント安定性を保証するため、仮定(A1)～(A3)を用いる。
• ドリフト項および拡散項の成長を制御するため、カシミンスキー型条件(A3)を適用し、局所リプシッツ条件のもとでの収束を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ブラウン運動によって駆動されるNSDDEsに対して、局所リプシッツおよびカシミンスキー型条件の下で、切り捨てられたEMスキームの強収束速度は何か？
• RQ2 収束速度は切り捨て関数 $ g(\Delta) $ にどのように依存するか？また、ステップサイズ $ \Delta $ に関して明示的に定量化可能か？
• RQ3 非線形成長を示すドリフトおよび拡散係数を有するNSDDEsに対し、切り捨てられたEMスキームは安定性および収束性を維持できるか？
• RQ4 純ジャンプ過程によって駆動されるNSDDEsに対して、特に片側リプシッツ条件および非線形成長条件のもとで、このスキームはどのように性能を示すか？
• RQ5 関数 $ \overline{g}(\Delta) $ は、切り捨てと収束速度のバランスを果たす役割を果たすか？

主な発見

• ブラウン運動によって駆動されるNSDDEsに対して、局所リプシッツおよびカシミンスキー型条件の下で、切り捨てられたEMスキームは強収束速度 $ O(\Delta^{1/2} \overline{g}(\Delta)^p) $ を達成する。
• 収束速度は明示的に切り捨て関数 $ \overline{g}(\Delta) $ に依存しており、$ \Delta \to 0 $ の際に $ \overline{g}(\Delta) $ が増加することから、安定性と精度のトレードオフを反映している。
• $ D(y) = \frac{1}{2}\sin y $、$ b(x,y) = x - x^3 + \cos y $、$ \sigma(x,y) = |x|^{3/2} $ の場合、条件(A1)～(A4)を満たしており、理論的枠組みの有効性が検証された。
• 正確な解は $ \sup_{0 \leq t \leq T} \mathbb{E}|X(t)|^p \leq C $ を満たし、$ \mathbb{P}(\tau_R \leq T) \leq C / R^p $ も成り立つため、モーメント安定性が保証される。
• 切り捨てられたスキームは正確な解のモーメントバウンドを保ち、数値解は $ \mathbb{E}(\sup_{0 \leq t \leq T} |X(t) - Y(t)|^p) \leq C \Delta^{1/2} \overline{g}(\Delta)^p $ を満たす。
• 解析により、切り捨てられたEMスキームが非グローバルリプシッツ係数を有するNSDDEsに有効であることが確認された。特に、非線形成長および片側リプシッツドリフトを有する場合にも有効である。