[論文レビュー] Convergence, Strong Law of Large Numbers, and Measurement Theory in the Language of Fuzzy Variables

Adam Bzowski, Michał K. Urbański|ArXiv.org|Mar 5, 2009

Fuzzy Systems and Optimization参考文献 26被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、コン pact な距離空間における α-カットを通じたファジィ集合の収束を定義することにより、ファジィ測度理論の厳密な基礎を確立する。また、アーチメデス型 t-ノルムにおけるファジィ変数に対する強い大数の法則を証明し、ファジィ版のグリヴェンコ＝カンテリ定理を定式化する。本稿では、確率論的・可能性論的変換を回避する直接推定法を導入し、ファジィ集合の属 性関数を経験的データから α-カット収束に基づいて推定可能にし、ファジィ過程の一貫性のあるシミュレーションと推論を可能にする。

ABSTRACT

In the paper we define the convergence of compact fuzzy sets as a convergence of alpha-cuts in the topology of compact subsets of a metric space. Furthermore we define typical convergences of fuzzy variables and show relations with convergence of their fuzzy distributions. In this context we prove a general formulation of the Strong Law of Large Numbers for fuzzy sets and fuzzy variables with Archimedean t-norms. Next we dispute a structure of fuzzy logics and postulate a new definition of necessity measures. Finally, we prove fuzzy version of the Glivenko-Cantelli theorem and use it for a construction of a complete fuzzy measurement theory.

研究の動機と目的

• 確率論に類似した一貫性のあるファジィ変数およびその収束理論の構築を目的とする。
• 距離空間のコンパクト部分集合の位相における α-カットを通じたファジィ集合の収束の定義を目的とする。
• アーチメデス型 t-ノルムを用いてファジィ変数に対する強い大数の法則を証明することを目的とする。
• 経験的データからのメンバーシップ関数推定に適したファジィ版のグリヴェンコ＝カンテリ定理を確立することを目的とする。
• 確率論的・可能性論的変換に依存しない完全なファジィ測度理論の構築を目的とする。

提案手法

• コンパクトなファジィ集合の収束を、距離空間のコンパクト部分集合上のハウスドルフ位相における α-カットの収束として定義する。
• 可能性空間からファジィ集合への写像としてファジィ変数を定義し、収束を α-カット収束によって定義する。
• アーチメデス型 t-ノルムを用いてファジィ論理演算をモデル化し、ファジィ変数に対する強い大数の法則を導出する。
• 位置統計（モード値、中央値）を用いて、経験的データから α-カットを直接推定する。
• 経験的ファジィ分布が真のファジィ分布に点収束および一様収束することを示すことにより、ファジィ版のグリヴェンコ＝カンテリ定理を証明する。
• 連続的かつ厳密に単調減少な否定関数に基づき、必要性測度の新しい定義を提案し、標準的なファジィ論理構造を一般化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 トポロジー的枠組みにおいて、α-カットを用いたファジィ集合の収束をどのように厳密に定義できるか？
• RQ2 強い大数の法則に相当するファジィ版は何か？ そして、どのような条件下で成立するか？
• RQ3 ファジィ経験的分布に対して、グリヴェンコ＝カンテリ型の定理を確立できるか？ また、それがファジィデータ推定に何を意味するか？
• RQ4 確率論的・可能性論的変換を回避して、経験的データからファジィ過程のメンバーシップ関数を直接推定することは可能か？
• RQ5 t-ノルムと否定関数は、一貫性のあるファジィ測度理論を構築する上で果たす役割は何か？

主な発見

• 本稿では、経験的ファジィ分布が真のファジィ分布に点収束および一様収束することを証明し、ファジィ版のグリヴェンコ＝カンテリ定理を確立した。
• 経験的ファジィ集合の α-カットが、対応する真のファジィ過程の α-カットに収束することを示し、メンバーシップ関数の直接推定が可能であることを実証した。
• アーチメデス型 t-ノルムの下で、ファジィ変数に対する強い大数の法則が証明され、標本平均が期待ファジィ値にほとんど確実に収束することを示した。
• ファジィ変数の収束が、ハウスドルフ距離における α-カットの収束と同値であることが示され、ファジィ極限理論の位相的基盤が確立された。
• 連続的かつ厳密に単調減少な否定関数に基づく必要性測度の新しい定義を提案し、非厳密な t-ノルムに対しても論理的一致性を保ちながら一般化を可能にした。
• 本稿では、逆メンバーシップ関数を用いたファジィ変数のシミュレーション法を示し、確率論的逆変換法をファジィ文脈に一般化した。