[論文レビュー] Convergence to equilibrium for positive solutions of some mutation-selection model

Jérôme Coville|arXiv (Cornell University)|Aug 29, 2013

Mathematical and Theoretical Epidemiology and Ecology Models参考文献 24被引用数 22

ひとこと要約

この論文は、非局所的変異選択モデルにノイマン境界条件を適用し、非線形相対エントロピー恒等式と直交分解を用いて、正の解の均衡へのグローバル収束を確立する。ブラインド競争（Kがxに依存しない）の下では、一意でグローバルに安定な正の定常状態が存在することを証明し、核の小さな摂動に対しても、定常状態が正に漸近的に安定であることが示される。

ABSTRACT

In this paper we are interested in the long time behaviour of the positive solutions of the mutation selection model with Neumann Boundary condition: $$ \\frac{\\partial u(x,t)}{dt}=u\\left[r(x)-\\int_{\\O}K(x,y)|u|^{p}(y)\\,dy\ ight]+\ abla\\cdot\\left(A(x)\ abla u(x)\ ight),\\qquad \ ext{in}\\quad \\R^+\ imes\\O$$ where $\\O\\subset \\R^N$ is a bounded smooth domain, $k(.,.) \\in C(\\bar \\O \ imes C(\\bar\\O), \\R), p\\ge 1$ and $A(x)$ is a smooth elliptic matrix. In a blind competition situation, i.e $K(x,y)=k(y)$, we show the existence of a unique positive steady state which is positively globally stable. That is, the positive steady state attracts all the possible trajectories initiated from any non negative initial datum. When $K$ is a general positive kernel, we also present a necessary and sufficient condition for the existence of a positive steady states. We prove also some stability result on the dynamic of the equation when the competition kernel $K$ is of the form $K(x,y)=k_0(y)+\\eps k_1(x,y)$. That is, we prove that for sufficiently small $\\eps$ there exists a unique steady state, which in addition is positively asymptotically stable. The proofs of the global stability of the steady state essentially rely on non-linear relative entropy identities and an orthogonal decomposition. These identities combined with the decomposition provide us some a priori estimates and differential inequalities essential to characterise the asymptotic behaviour of the solutions.

研究の動機と目的

• 変異率が小さいと仮定しない非局所的変異選択モデルにおける正の解の長期的挙動を分析すること。
• ブラインド競争（K(x,y) = k(y)）の下で、一意でグローバルに安定な正の定常状態の存在を確立すること。
• 競争核Kが一般の場合に正の定常状態が存在するための必要十分条件を導出すること。
• 核がブラインド競争形の小さな摂動である場合の動的の安定性を調査すること。
• 非線形相対エントロピー恒等式と直交分解を発展・適用し、漸近的挙動を特徴付けること。

提案手法

• 非線形相対エントロピー恒等式を用いて、解の減衰に関する事前推定および微分不等式を導出する。
• 主固有関数φ₁に関する解の直交分解を適用し、ダイナミクスを分離する。
• Schauderの放物型推定とブートストラップ論法を用いて、解の一様有界性および正則性を証明する。
• 放物型最大原理および下界関数技法を用いて、解の正値性と有界性を保証する。
• コンパクト性の議論と対角抽出法を用いて、近似列における極限に移行する。
• L^pノルムと重みφ₁を含むエネルギー型推定を分析し、リャプノフ型の減衰を得る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ノイマン境界条件を伴う変異選択モデルが、どのような条件下で一意の正の定常状態へグローバルに収束するか？
• RQ2 競争核Kが一般の場合に正の定常状態が存在するための必要十分条件は何か？
• RQ3 核がブラインド競争形の小さな摂動である場合、定常状態の安定性はどのように振る舞うか？
• RQ4 通常の適応ダイナミクスフレームワークとは異なり、変異率が小さいと仮定しない状況でもグローバル安定性を確立できるか？
• RQ5 演算子∇·(A∇) + r の主固有関数φ₁は、長期的挙動を特徴付ける上で果たす役割は何か？

主な発見

• ブラインド競争の場合（K(x,y) = k(y)）、一意の正の定常状態が存在し、すべての非負の初期データがその吸引域に属する。
• 定常状態は正にグローバル安定であり、すべての正の解がt → ∞でそれへ収束する。
• 一般の正の核Kに対しては、スペクトル解析を用いて正の定常状態が存在するための必要十分条件が導出された。
• K(x,y) = k₀(y) + εk₁(x,y) でε > 0が小さい場合、一意の正の定常状態が存在し、正に漸近的に安定である。
• 相対エントロピー恒等式と直交分解を組み合わせることで、解の指数的減衰を示す微分不等式が得られた。
• L^pノルムの一様有界性と解のC^{1,α}正則性がεに依存せずに確立され、コンパクト性を用いた収束が可能になった。