[論文レビュー] Convergence to the Equilibrium in a Lotka-Volterra Ode Competition System with Mutations

Jérôme Coville, Frédéric Fabre|arXiv (Cornell University)|Jan 26, 2013

Evolution and Genetic Dynamics参考文献 28被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、相対エントロピー関数をラプラシアン関数として用いることで、変異を含むロトカ・ヴォルテラ競争系において、一意の正の平衡点へのグローバル収束を確立する。変異が競争排除を防ぎ、非変異系が排除を示す場合でさえも、共存と安定性を保証することを示している。

ABSTRACT

In this paper we are investigating the long time behaviour of the solution of a mutation competition model of Lotka-Volterra's type. Our main motivation comes from the analysis of the Lotka-Volterra's competition system with mutation which simulates the demo-genetic dynamics of diverse virus in their host : $$ \frac{dv_{i}(t)}{dt}=v_i\[r_i-\frac{1}{K}Ψ_i(v)\]+\sum_{j=1}^{N} μ_{ij}(v_j-v_i). $$ In a first part we analyse the case where the competition terms $Ψ_i$ are independent of the virus type $i$. In this situation and under some rather general assumptions on the functions $Ψ_i$, the coefficients $r_i$ and the mutation matrix $μ_{ij}$ we prove the existence of a unique positive globally stable stationary solution i.e. the solution attracts the trajectory initiated from any nonnegative initial datum. Moreover the unique steady state $\bar v$ is strictly positive in the sense that $\bar v_i>0$ for all $i$. These results are in sharp contrast with the behaviour of Lotka-Volterra without mutation term where it is known that multiple non negative stationary solutions exist and an exclusion principle occurs (i.e For all $i eq i_0, \bar v_{i}=0$ and $\bar v_{i_0}>0$). Then we explore a typical example that has been proposed to explain some experimental data. For such particular models we characterise the speed of convergence to the equilibrium. In a second part, under some additional assumption, we prove the existence of a positive steady state for the full system and we analyse the long term dynamics. The proofs mainly rely on the construction of a relative entropy which plays the role of a Lyapunov functional.

研究の動機と目的

• 変異を含むデモ・ゲノム的ウイルス集団モデルの長期的ダイナミクスを分析すること。
• 変異が古典的ロトカ・ヴォルテラ系における競争排除原理にどのように影響を与えるかを調査すること。
• 一般条件下で一意の正の平衡点の存在とグローバル安定性を確立すること。
• 生物学的に関連性のある特定のモデルにおける平衡点への収束速度を特定すること。
• 相互作用行列および変異行列に追加の構造的仮定を課した場合の全系への結果の拡張。

提案手法

• 系のラプラシアン関数として機能する相対エントロピー関数を構築する。
• 相互作用項 $\Psi_i(v)$ の単調性および局所リプシッツ連続性に加え、変異行列 $\mu_{ij}$ の非可約性および対称性を用いる。
• 漸近的解析および補助ODEを用いた比較原理を適用し、解軌道のバウンディングを行う。
• $\epsilon$-正則化および $\delta_0$-スケーリングに基づく摂動論的アプローチを用い、収束速度を制御する。
• 特定の4遺伝子型モデルにおける変異行列 $M$ の構造を活用し、定量的収束推定を導出する。
• 元の系と補助ODEとの間の比較定理を適用し、相対エントロピーの均一なバウンディングを確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 変異を含むロトカ・ヴォルテラ系が、一意のグローバルに安定な正の平衡点を有するための条件は何か？
• RQ2 変異は、古典的ロトカ・ヴォルテラ系で観察される競争排除原理にどのように影響を与えるか？
• RQ3 生物学的に関連性のある変異-競争モデルにおける平衡点への収束速度は何か？
• RQ4 一般仮定の下で、相対エントロピー関数がこのような系のラプラシアン関数として機能できるか？
• RQ5 $\Psi_i$ および $\mu_{ij}$ に課される構造的仮定は、長期的ダイナミクスおよび安定性にどのように影響を与えるか？

主な発見

• やや弱い仮定のもとで、系は一意の正のグローバルに安定な平衡点を有し、すべての $i$ に対して $\bar{v}_i > 0$ である。
• 変異項により競争排除が排除され、すべての遺伝子型の共存が保証される。
• 変異行列 $M$ を持つ特定の4遺伝子型モデルでは、平衡点への収束が指数的である。
• 相対エントロピー $\mathcal{E}(h)$ は $t \to \infty$ のときゼロに収束し、$t \geq t_n$ に対して $\sqrt{\mathcal{E}(h(t))} \leq \frac{\epsilon \delta_0}{2^n}$ が成り立つ。これは摂動系における指数的減衰を示唆する。
• 補助ODEとの比較により収束速度が定量的に評価され、$t$ が十分に大きい場合に $\sqrt{\mathcal{E}(h)} \leq \frac{2kC\epsilon^2\delta_0^2}{d}$ が成り立つ。
• 証明は、$\widetilde{\Psi}_{\bar{v}_\epsilon}$ の厳密な単調性および解軌道の均一なバウンディングに依存する。