[論文レビュー] Convergence to the Stochastic Burgers Equation from a degenerate microscopic dynamics

Oriane Blondel, Patrícia Gonçalves+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 29, 2016

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 19被引用数 12

ひとこと要約

本稿は、跳躍レートが消えることがあり得る1次元の非可逆性を持つ相互作用粒子系のクラスから、確率的バーガース方程式への収束を確立する。これは、閉塞配置による局所的非一様性を克服したものである。著者らは、平衡測度下での閉塞配置の指数的減衰に依拠する、第二階層のボルツマン＝ギブズ原理の新証明を導入し、スピンギャップの仮定を回避することで、動的粒子交換メカニズムを用いて収束を示した。

ABSTRACT

In this paper we prove the convergence to the stochastic Burgers equation from one-dimensional interacting particle systems, whose dynamics allow the degeneracy of the jump rates. To this aim, we provide a new proof of the second order Boltzmann-Gibbs principle introduced in [Gon\\c{c}alves, Jara 2014]. The main technical difficulty is that our models exhibit configurations that do not evolve under the dynamics - the blocked configurations - and are locally non-ergodic. Our proof does not impose any knowledge on the spectral gap for the microscopic models. Instead, it relies on the fact that, under the equilibrium measure, the probability to find a blocked configuration in a finite box is exponentially small in the size of the box. Then, a dynamical mechanism allows to exchange particles even when the jump rate for the direct exchange is zero.

研究の動機と目的

• 非可逆な1次元相互作用粒子系が確率的バーガース方程式に収束することを確立すること。
• 動的挙動において閉塞配置が生じることで局所的に非一様的となる問題に対処すること。
• 微視的モデルのスピンギャップ推定を要しない第二階層のボルツマン＝ギブズ原理の新証明を開発すること。
• 閉塞配置の確率がボックスサイズとともに指数的に減少することを示し、効果的な粒子交換を可能にすること。
• 微視的コール＝ホプフ変換を持たないモデルに対してもボルツマン＝ギブズ原理の適用範囲を拡張すること。

提案手法

• 閉塞配置を伴う非可逆力学系に特化した第二階層ボルツマン＝ギブズ原理の新証明を導入すること。
• 有限ボックス内における平衡測度が閉塞配置に指数的に小さい確率を割り当てる事実を用いること。
• 局所関数を制御するためのマルチスケール置換戦略を採用し、拡大するボックス上の平均値に置き換えること。
• 時間平均の2次変動における誤差項を抑え込むために、コーシー＝シュワルツとモーメント推定を用いること。
• 空間的平均化とシフト技術を用いて、占有変数の長距離相関を分離すること。
• 直接的な跳躍レートがゼロであっても、粒子交換が可能である動的メカニズムを活用し、有効な輸送を保証すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 跳躍レートがゼロとなる配置が存在する非可逆粒子系から、確率的バーガース方程式が導けるか？
• RQ2 微視的生成子のスピンギャップ推定を要件としない第二階層ボルツマン＝ギブズ原理の証明は可能か？
• RQ3 閉塞配置の確率の指数的減少が、マクロな方程式への収束を可能にする役割は何か？
• RQ4 微視的コール＝ホプフ変換を持たないモデルに対しても収束結果は成立するか？
• RQ5 動的交換メカニズムは、閉塞配置における直接的跳躍レートがゼロである場合に、どのようにそれを補完するか？

主な発見

• 平衡測度下で、有限ボックス内に閉塞配置が現れる確率はボックスサイズとともに指数的に減少する。
• 本稿で提示された第二階層ボルツマン＝ギブズ原理の新証明は、微視的力学系のスピンギャップ推定を要件としない。
• 非可逆的で弱く非対称な排除過程のクラスに対して、確率的バーガース方程式への収束が確立された。
• ボルツマン＝ギブズ置換における主要な誤差項は、パラメータ ℓ と L を用いたマルチスケール平均化戦略により抑えられ、n→∞ のとき誤差は消える。
• 本手法は微視的コール＝ホプフ変換を持たないモデルにも適用可能であり、[1]の範囲を超えて結果を拡張した。
• 実測平均の3次以上の多項式項に対しても結果が成り立ち、誤差項は n→∞ のとき、ℓ=ε√n および L=εn^{3/4} のとき減少する。