[論文レビュー] Convergent and Divergent Series in Physics

Carl M. Bender, Carlo Heissenberg|arXiv (Cornell University)|Mar 15, 2017

Fractional Differential Equations Solutions被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、物理学における収束・発散する摂動級数の和をとるための高度な数学的技法を提示する。収束加速（例えば、シャンクス変換、リチャードソン補外）と、ボレル和算、パデ近似、連分数による発散級数の和算を焦点とする。主な貢献は、非調和振動子の基底状態エネルギーに対する発散級数が、パディ近似を用いて一貫して和算可能であることを示したことである。その係数は $ n! olinebreak[4] 3^n $ のように増加し、カーレマンの条件を満たしており、パディ列の収束を保証する。

ABSTRACT

The aim of this review, based on a series of four lectures held at the 22nd "Saalburg" Summer School (2016), is to cover selected topics in the theory of perturbation series and their summation. The first part is devoted to strategies for accelerating the rate of convergence of convergent series, namely Richardson extrapolation, and the Shanks transformations, and also covers a few techniques for accelerating the convergence of Fourier series. The second part focuses on divergent series, and on the tools allowing one to retrieve information from them. These techniques include Euler summation, Borel summation, generic summation, and the method of continued functions, including in particular the Padé theory based on continued fractions. Finally, a brief discussion of Stieltjes series and functions is given in order to study the convergence properties of Padé approximants.

研究の動機と目的

• 量子および統計物理学における形式的級数から物理的情報を抽出するための手法を開発・提示すること。
• 量子場理論および量子力学に現れる発散する摂動級数の和をとるという課題に取り組むこと。
• 特に非調和振動子に対して、パディ近似および連分数が漸近級数を和算する有効性を示すこと。
• 分散関係を介して、摂動級数の高次の振る舞いとトンネル効果などの物理現象との関係を確立すること。

提案手法

• 収束級数の収束を加速するためにリチャードソン補外およびシャンクス変換を用いる。
• 発散級数に有限値を割り当てるためにボレル和算およびオイラー和算を適用する。
• 連分数に基づくパディ近似を用いて、漸近級数から関数を近似する。
• 摂動級数の解析的構造を特徴付けるために、スタイエルツ関数およびハーグローツ関数を用いる。
• 積分表現から導かれる分散関係を用いて、級数係数と物理的観測量との関係を結ぶ。
• エネルギー級数のスタイエルツ積分表現におけるスペクトル関数 $ D(t) $ をWKB法を用いて推定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 量子力学における発散する摂動級数に、有限で物理的に意味のある和を割り当てることは可能か？
• RQ2 漸近級数に対するパディ近似の収束を保証する数学的条件は何か？
• RQ3 摂動級数の高次係数は、量子トンネル効果などの物理的過程とどのように関係するか？
• RQ4 連分数法は、標準的なパディ近似よりもより頑健な和算手法を提供できるか？
• RQ5 複素平面上の特異点は、摂動展開の和算可能性にどのような役割を果たすか？

主な発見

• 非調和振動子の基底状態エネルギーに対する摂動級数は $ a_n \sim n! \, 3^n $ のように増加し、モーメント問題のユニークネスを保証するカーレマンの条件を満たす。
• 関連するパディ近似は、表1の数値結果により、約 0.825 に収束することが確認され、正しいエネルギー値に収束することが示された。
• 非調和振動子の $ F(\epsilon) = (E_0(\epsilon) - E_0(0))/\epsilon $ は、スタイエルツ関数の4つの性質をすべて満たしており、分散関係による表現が可能である。
• スタイエルツ積分表現におけるスペクトル関数 $ D(t) $ はWKB法を用いて推定可能であり、級数係数とトンネル幅との間の関係が結ばれる。
• 連分数法、特にパディ近似は、この文脈において発散級数を和算するための最も強力な手法であることが示された。
• 方程式 $ \epsilon x^5 + x - 1 = 0 $ の解の級数は収束半径 $ \rho = 4^4 / 5^5 < 1 $ を有し、$ \epsilon = 1 $ で発散することを示しており、和算技法の必要性を強調している。