[論文レビュー] Convergent Lifted Lasserre Hierarchy of SDPs for Minimizing Expectation of Piecewise Polynomial Loss over Wasserstein Balls

N. D. Dizon, Q. Y. Huang+3 more|arXiv (Cornell University)|Feb 24, 2026

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ひとこと要約

この論文は、Wasserstein曖昧性下のpiecewise polynomial lossを用いた分布上ロバスト最適化問題の最適値へ近似・収束するLifted SOSベースのSDP階層を開発し、凸性下で有限収束を含む収束を示す。

ABSTRACT

This paper investigates the minimization of the expectation of piecewise polynomial loss functions over Wasserstein balls. This optimization problem often appears as a key sub-problem of distributionally robust optimization problems. We establish the asymptotic convergence of a hierarchy of semi-definite programming (SDP) relaxations, providing a framework for approximating the optimal values of these inherently infinite-dimensional optimization problems. A central foundational contribution is the development of a new lifted positivity certificate: we demonstrate that piecewise polynomials positive over Archimedean basic semi-algebraic sets admit a structured system of sum-of-squares (SOS) representations. Furthermore, we prove that the proposed hierarchy achieves finite convergence under suitable conditions when the defining polynomials are convex. The practical utility and versatility of this approach are demonstrated via numerical experiments in revenue estimation and portfolio optimization.

研究の動機と目的

• Wassersteinボールを用いた分布的にロバストな最適化において、piecewise polynomial lossの期待値を最小化する問題を動機づけ、定式化する。
• Archimedean半代数集合上のpiecewise polynomialsの新しいlifted正性証明を開発する。
• 無限次元のDRO問題を近似する収束 SDP階層を構成し、漸近的な収束（凸性下で有限収束を含む）を証明する。

提案手法

• 基本的な半代数的支配領域Xi内でpiecewise polynomial lossとWasserstein曖昧性集合を導入する。
• Xi上のpiecewise polynomialsに対するlifted Sum-of-Squares表現（正性証明）を導出する（Theorem 3.2）。
• EP（期待値問題）の緩和を徐々に厳密化するSDP階層（AD_r）を定式化する。
• SDP階層のDRO最適値への漸近的収束を証明する（Theorem 3.4）。
• ScheidererのSOS表現を用いた凸-凹最小化とラグランジュ対偶性を用いて適切な凸性条件下での有限収束を確立する。
• 収益推定とmean-CVaRポートフォリオ最適化における数値実験を通じた適用性を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Wasserstein曖昧性の下でpiecewise polynomial lossの期待値を無限次元問題として最小化する問題をどのように近似するか。
• RQ2 Archimedean半代数集合上でpiecewise polynomialsの正性を証明するlifted SOS表現は成り立つか。
• RQ3 SDP階層はどの条件で漸近的または有限にDRO最適値へ収束するか。
• RQ4 収益推定やポートフォリオ最適化といった実務的DRO問題でフレームワークはどの程度機能するか。

主な発見

• lifted正性証明は、Archimedean基本半代数集合上でpiecewise polynomialsが正となる場合、構造化されたSOS表現を持つことを示す。
• AD_rというSDP階層を構築し、その実現性制約がEP最適値への収束近似を与える。
• polynomials定義の凸性の下でr → ∞としたとき階層が真の最適値へ漸近的に収束することを証明（凸性の仮定下で有限収束も成立）。
• 本手法は、従来のpiecewise quadraticやSOS-convex設定を超えて、モーメントベースのDROを一般的なpiecewise polynomialsへ拡張する。
• 数値実験は、piecewise polynomial効用を用いた収益推定とmean-CVaRポートフォリオ最適化への適用性を示す。