[論文レビュー] Convergent semi-Lagrangian methods for the Monge-Ampère equation on unstructured grids

Xiaobing Feng, Max Jensen|arXiv (Cornell University)|Feb 15, 2016

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 2被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、非構造化三角形メッシュ上でMonge-Ampère方程式を解く収束性を有する半ラグランジュ法を提案する。この手法は、凸性制約を明示的に必要としないように、方程式をハミルトニアン・ジャコビ・ベルマン（HJB）方程式に再定式化することで達成される。スクリーンの単調性、局所的一致性、一様安定性を持つスキームにより、一意な粘性解への一様収束が達成され、非滑らかで退化した場合でさえホワイトンのアルゴリズムを用いて超線形収束を実現する。

ABSTRACT

This paper is concerned with developing and analyzing convergent semi-Lagrangian methods for the fully nonlinear elliptic Monge-Ampère equation on general triangular grids. This is done by establishing an equivalent (in the viscosity sense) Hamilton-Jacobi-Bellman formulation of the Monge-Ampère equation. A significant benefit of the reformulation is the removal of the convexity constraint from the admissible space as convexity becomes a built-in property of the new formulation. Moreover, this new approach allows one to tap the wealthy numerical methods, such as semi-Lagrangian schemes, for Hamilton-Jacobi-Bellman equations to solve Monge-Ampère type equations. It is proved that the considered numerical methods are monotone, pointwise consistent and uniformly stable. Consequently, its solutions converge uniformly to the unique convex viscosity solution of the Monge-Ampère Dirichlet problem. A super-linearly convergent Howard's algorithm, which is a Newton type method, is utilized as the nonlinear solver to take advantage of the monotonicity of the scheme. Numerical experiments are also presented to gauge the performance of the proposed numerical method and the nonlinear solver.

研究の動機と目的

• 一般の非構造化グリッド上でのMonge-Ampère方程式の数値解法における凸性の強制という課題を克服すること。
• 離散空間における凸性制約を要件としない、完全非線形楕円型PDEに対する単調性、一貫性、安定性を有する数値スキームの開発。
• 広いステンシルを持つ有限差分スキームと整合性を保ちつつ、効率的な非線形ソルバー（例：ホワイトンのアルゴリズム）の使用を可能にするため、単調性を保証すること。
• 非構造化三角形メッシュ上でのMonge-AmpèreDirichlet問題の唯一の凸粘性解への数値解の収束を確立すること。
• ベルマン形式による非凸関数への比較原理の拡張により、古典的枠組みを超えた厳密な収束解析を可能とすること。

提案手法

• 粘性解の意味でMonge-Ampère方程式を等価なハミルトニアン・ジャコビ・ベルマン（HJB）形式に再定式化し、演算子構造自体が凸性を内蔵することで、凸性の明示的制約が不要になるようにする。
• 有限要素法の背景グリッド上に広いステンシルを持つ有限差分スキームを構築し、三角形メッシュと高次ステンシルを組み合わせてHJB演算子を近似する。
• 最大原理を尊重し、振動を回避する半ラグランジュ離散化を用いることで、スキームの単調性を保証する。
• 局所補間と方向微分を用いた半ラグランジュアプローチによりHJB演算子を近似することで、局所的一致性を実現する。
• 単調性を活かして安定な収束を実現する、超線形収束性を有するホワイトンのアルゴリズム（半スムーズニュートン法）を非線形ソルバーとして適用する。
• 二重グリッドアプローチを採用：関数の表現には粗い有限要素空間を、HJB演算子の高精度離散化には広いステンシルを用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非構造化グリッド上でのMonge-Ampère方程式は、粘性解の意味でハミルトニアン・ジャコビ・ベルマン方程式に再定式化可能か？
• RQ2 HJB再定式化により、離散解空間における凸性の明示的強制が不要になるか？
• RQ3 非構造化三角形メッシュ上でのHJB形式に対して、単調性、一貫性、一様安定性を有する数値スキームを構築可能か？
• RQ4 非滑らかで退化した解に対しても、ホワイトンのアルゴリズムが超線形収束を達成するように効果的に適用可能か？
• RQ5 滑らかでない正確解に対しても、$L^2$、$L^rown$、$H^1$ノルムにおける数値解の収束速度はどの程度か？

主な発見

• 提案された半ラグランジュスキームは単調性、局所的一致性、一様安定性を有しており、一意な凸粘性解への収束を保証する。
• HJB再定式化により、離散空間における凸性の強制が不要となる。凸性は演算子構造に内蔵されている。
• 四次関数の正確解に対して、$L^rown$誤差は$h$に関して約1.02、$k$に関して約1.78の収束順序を示し、時間的パラメータ$k$において超線形収束を示している。
• 非滑らか解$|x_1|$に対して、$L^rown$誤差は$h$に関して0.64、$k$に関して1.50の収束順序を示し、正則性の欠如にもかかわらずロバスト性を示している。
• ホワイトンのアルゴリズムは、すべてのメッシュ細分化とステンシルサイズにおいて中程度の反復回数（4～16回）を示し、細かいメッシュ上でも効率的な解法が可能である。
• メッシュと特異性ラインがずれている場合でも、$|x_1|$のような非滑らか解（$f=0$）を正確に計算可能であり、退化ケースにおけるロバスト性を確認した。