[論文レビュー] Convergent sequences in minimal groups

Dmitri Shakhmatov|ArXiv.org|Jan 1, 2009

Advanced Topology and Set Theory参考文献 12被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、無限最小アーベル群が非自明な収束列を含むことを確立し、コンパクト群に関する古典的結果を拡張する。さらに、アーベル性の仮定が本質的であることを示すために、各非可算正則基数 κ に対して、非自明な収束列を含まず、すべてのコンパクト部分集合が有限で、すべての商群が最小である非アーベル最小群（自由群 F(κ) 上に構成）を構成する。

ABSTRACT

A Hausdorff topological group G is minimal if every continuous isomorphism f : G --> H between G and a Hausdorff topological group H is open. Clearly, every compact Hausdorff group is minimal. It is well known that every infinite compact Hausdorff group contains a non-trivial convergent sequence. We extend this result to minimal abelian groups by proving that every infinite minimal abelian group contains a non-trivial convergent sequence. Furthermore, we show that "abelian" is essential and cannot be dropped. Indeed, for every uncountable regular cardinal kappa we construct a Hausdorff group topology T_kappa on the free group F(kappa) with kappa many generators having the following properties: (i) (F(kappa), T_kappa) is a minimal group; (ii) every subset of F(kappa) of size less than kappa is T_kappa-discrete (and thus also T_kappa-closed); (iii) there are no non-trivial proper T_kappa-closed normal subgroups of F(kappa). In particular, all compact subsets of (F(kappa), T_kappa) are finite, and every Hausdorff quotient group of (F(kappa), T_kappa) is minimal (that is, (F(kappa), T_kappa) is totally minimal).

研究の動機と目的

• 無限コンパクトハウスドルフ群が非自明な収束列を含むという古典的結果を、最小アーベル群のクラスへ拡張すること。
• この拡張におけるアーベル性の仮定が必要かどうかを、非アーベルの場合の反例を構成することで調査すること。
• 最小性だけでは、非アーベル群において非自明な収束列の存在を保証しないことを示すこと。
• 非可算正則基数 κ に対して、自由群 F(κ) 上に強い最小性および位相的性質を持つハウスドルフ群位相を構成すること。
• そのような群が完全最小であり、非自明な閉正規部分群をもたず、すべてのコンパクト部分集合が有限であることを示すこと。

提案手法

• プロダノフとステップヘンソンによる最小性基準を用い、コンパクト群の最小稠密部分群を本質的性によって特徴付ける。
• 自由群 F(κ) に位相を定義するため、同型写像を介して無限対称群 S(X_κ) に埋め込む。この埋め込みにより稠密な部分群 G_κ を得る。
• S(X_κ) からの部分空間位相を F(κ) に引き継ぎ、有限部分集合 Z と単射 φ をインデックスとする開集合の基底 W(X_κ, Z, φ) を定義する。
• 各 γ < κ に対して、F(T_γ) の像が G_κ 内で離散的であることを示す。これは評価写像 J_γ の単射性を用いる。
• κ の正則性を用いて、κ より小さいサイズの任意の部分集合が、ある F(T_γ) に含まれることを示し、したがって離散的であることを示す。
• G_κ が S(X_κ) に稠密であることを示す。これは逆極限構造と余帰納的性を用い、S(X_κ) の任意の基本開集合が G_κ と交わることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 すべての無限最小アーベル群は非自明な収束列を含むか？
• RQ2 最小群における非自明な収束列の存在に関して、アーベル性の仮定は必要か？
• RQ3 最小非アーベル群が非自明な収束列を含まないことは可能か？
• RQ4 自由群に最小群位相を導入することで、どのような位相的・代数的性質を強制できるか？
• RQ5 すべてのコンパクト部分集合が有限で、非自明な閉正規部分群をもたない最小群は存在するか？

主な発見

• すべての無限最小アーベル群は非自明な収束列を含み、これはコンパクト群に関する古典的結果の一般化である。
• 非可算正則基数 κ に対して、自由群 F(κ) 上にハウスドルフ群位相 T_κ が存在し、(F(κ), T_κ) は最小である。
• (F(κ), T_κ) において、κ より小さいサイズの任意の部分集合は離散的かつ閉じており、したがってすべてのコンパクト部分集合は有限である。
• 群 (F(κ), T_κ) は非自明な真の閉正規部分群をもたず、すべてのハウスドルフ商群が最小である（つまり、完全最小である）。
• この構成は、F(κ) を S(X_κ) に埋め込み、稠密かつ同型な像 G_κ を得ることに依拠している。位相は S(X_κ) からの部分空間位相を引き継ぐ。
• F(κ) と G_κ の同型写像により、T_κ が最小群位相であることが保証され、G_κ が S(X_κ) に稠密であることから、(F(κ), T_κ) の最小性および完全最小性が示される。