[論文レビュー] Convergents as approximants in continued fraction expansions of complex numbers with Eisenstein integers

S. G. Dani|arXiv (Cornell University)|Mar 22, 2017

Mathematical and Theoretical Analysis参考文献 1被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、アイゼンシュタイン整数上の連分数展開における収束項が最適近似分数であることを確立し、任意の複素数 $ z $ に対して、すべての $ q \in \mathbb{Z}[\omega] $ で $ |q| \leq |q_n| $ を満たすものについて、近似誤差 $ |qz - p| $ が $ \frac{1}{2} |q_n z - p_n| $ で下から抑えられることを証明している。さらに、展開における有界な部分商を用いて、悪く近似可能な複素数を特徴づけている。

ABSTRACT

Let $\frak E$ denote be the ring of Eisenstein integers. Let $z\in \mathbb C$ and $p_n,q_n \in \frak E$ be such that $\{p_n/q_n\}$ is the sequence of convergents corresponding to the continued fraction expansion of $z$ with respect to the nearest integer algorithm. Then we show that for any $q\in \frak E$ such that $1\leq |q|\leq |q_n|$ and any $p\in \frak E$, $|qz-p|\geq \frac12 |q_nz-p_n|$. This enables us to conclude that $z\in \mathbb C$ is badly approximable, in terms of Eisenstein integers, if and only if the corresponding sequence of partial quotients is bounded.

研究の動機と目的

• アイゼンシュタイン整数を用いて、実数の連分数における最良近似分数の概念を複素数連分数へ拡張すること。
• 複素平面上の環 $ \mathbb{Z}[\omega] $ 上における収束項による近似の質の下界を確立すること。
• アイゼンシュタイン整数連分数展開における有界な部分商を用いて、悪く近似可能な複素数を特徴づけること。
• アイゼンシュタイン整数における近似の質とガウス整数におけるものとを比較し、最適定数の違いを強調すること。

提案手法

• 非自明な単位根 $ \omega $ を持つアイゼンシュタイン整数環 $ \mathfrak{E} = \mathbb{Z}[\omega] $ 上での最近接整数アルゴリズムを用いる。
• 繰り返し最近接整数写像を適用することで連分数展開を定義し、列 $ \{a_n\} $, $ \{p_n\} $, $ \{q_n\} $ を生成し、$ p_n/q_n $ を収束項とする。
• 再帰関係を用いて $ p_n $ と $ q_n $ を扱い、近似誤差と連分数の尾部を関係付ける恒等式 $ |q_n z - p_n| = |z_{n+1} q_n + q_{n-1}|^{-1} $ を用いる。
• 幾何学的および代数的推定を用い、$ |z_{n+1}| \geq \sqrt{3} $, $ |r_n| = |q_{n-1}/q_n| $, および $ |\beta z_{n+1} - \alpha| $ の上界を評価することで、主要な不等式を導出する。
• 背理法を用いて、すべての $ \alpha, \beta \in \mathfrak{E} $ に対して $ |\beta z_{n+1} - \alpha| \geq \frac{1}{2} $ であることを示し、主要結果に至る。
• 得られた結果を用いて、部分商 $ \{|a_n|\} $ が有界であることによって、悪く近似可能な数を特徴づける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 すべての $ q \in \mathfrak{E} $ で $ |q| \leq |q_n| $ を満たすものについて、$ |qz - p| \geq c |q_n z - p_n| $ を満たす最適定数 $ c $ は何か？
• RQ2 アイゼンシュタイン整数連分数における収束項は、他の近似分数と比べてどの程度の近似の質を示すか？
• RQ3 環 $ \mathfrak{E} $ 上の悪く近似可能な複素数は、その連分数展開における有界な部分商によって特徴づけられるか？
• RQ4 なぜアイゼンシュタインの場合には定数 $ \frac{1}{2} $ が現れるのに対し、ガウス整数の場合には $ \frac{1}{5} $ が成り立つのか？
• RQ5 アイゼンシュタイン整数環 $ \mathfrak{E} $ が、ガウス整数環 $ \mathfrak{G} $ よりも強い近似境界を与えるために必要な幾何学的および代数的性質は何か？

主な発見

• この論文は、任意の $ z \in \mathbb{C} $ に対して、収束項 $ p_n/q_n $ が、$ 1 \leq |q| \leq |q_n| $ を満たすすべての $ p, q \in \mathfrak{E} $ について $ |qz - p| \geq \frac{1}{2} |q_n z - p_n| $ を満たすことを証明し、$ \frac{1}{2} $ が最適定数であることを確立している。
• 定数 $ \frac{1}{2} $ は鋭く、アイゼンシュタイン格子の幾何構造と $ |z_{n+1}| \geq \sqrt{3} $ の下界に起因する。
• 環 $ \mathfrak{E} $ 上の悪く近似可能な複素数は、有界な部分商によって特徴づけられる：$ z $ が悪く近似可能であることと $ \{|a_n|\} $ が有界であることとは同値である。
• 証明は背理法に依拠し、$ |\beta z_{n+1} - \alpha| $ が $ \frac{1}{2} $ より小さくはならないことを示している。その根拠として $ |\beta| \geq \sqrt{3} $ および $ |r_n| \leq \sqrt{2/3} $ または $ |r_{n-1}| \leq \sqrt{2/3} $ の評価を用いている。
• ガウス整数の場合とは対照的に、最良の定数は $ \frac{1}{5} $ であり、これは $ |z_{n+1}| \geq \sqrt{2} $ の弱い下界に起因する。
• 悪く近似可能な数の有界部分商による特徴づけは、古典的な実数の場合と類似しているが、今や $ \mathfrak{E} $ 上の複素数の文脈でも成り立つ。