[論文レビュー] Converse Theorem Meets Gauss Sums

Chufeng Nien, Lei Zhang|arXiv (Cornell University)|Jun 13, 2018

Advanced Algebra and Geometry被引用数 2

ひとこと要約

本稿は、$$\mathrm{GL}_n(\mathbb{F}_p)$$ 上の非可約 cuspidal および一般表現の twisted gamma 因子について、$n \times 1$ 局所逆定理を検証し、$p$-進体 $$\mathcal{F}$$ における $$\mathrm{GL}_n(\mathbb{F}_q)$$ と $$\mathrm{GL}_n(\mathcal{F})$$ の間の関係を確立する。また、$n=6$ において定理が成立しない場合の、より洗練された原始的表現の集合を提案する。さらに、有限体上の $n \times m$ gamma 因子と拡張体上の Gauss 和の間の関係を予想する。

ABSTRACT

This paper verifies $n imes 1$ Local Converse Theorem for twisted gamma factors of irreducible cuspidal representations of ${ m GL}_n({\mathbb F}_p)$, for $n\leq 5,$ and of irreducible generic representations, for $n<\frac{q-1}{2\sqrt{q}}+1$ in the appendix by Zhiwei Yun, where $p$ is a prime and q is a power of $p$. The counterpart of $n imes 1$ converse theorem for level zero cuspidal representations also follows the established relation between gamma factors of ${ m GL}_n({\mathcal F})$ and that of ${ m GL}_n({\mathbb F}_q)$, where ${\mathcal F}$ denotes a $p$-adic field whose residue field is isomorphic to ${\mathbb F}_q.$ For $n=6,$ examples failed $n imes 1$ Local Converse Theorem over finite fields are provided and the authors propose a set of primitive representations, for which $n imes 1$ gamma factors should be able to detect a unique element in it. For $m, n\in {\mathbb N},$ in the spirit of Langlands functorial lifting, we formulate a conjecture to relate $n imes m$ gamma factors of finite fields with Gauss sums over extended fields.

研究の動機と目的

• 非可約 cuspidal 表現の $\mathrm{GL}_n(\mathbb{F}_p)$ 上の twisted gamma 因子について、$n \leq 5$ の範囲で $n \times 1$ 局所逆定理を検証すること。
• Zhiwei Yun の付録で確立された境界 $n < \frac{q-1}{2\sqrt{q}} + 1$ のもとで、非可約一般表現への定理の拡張。
• $p$-進体 $\mathcal{F}$ の $\mathrm{GL}_n(\mathbb{F}_q)$ と $\mathrm{GL}_n(\mathcal{F})$ の gamma 因子の対応関係を確立すること。特に、レベルゼロの cuspidal 表現に対して。
• $n=6$ における有限体上での $n \times 1$ 局所逆定理の失敗を、$n \times 1$ gamma 因子が表現を一意に特定できるような新しい原始的表現の集合を提案することで解決すること。
• Langlands 関手性の精神に従い、有限体上の $n \times m$ gamma 因子と拡張体上の Gauss 和の間の関係を予想すること。

提案手法

• 著者らは、$\mathrm{GL}_n(\mathbb{F}_p)$ の非可約表現に関連する gamma 因子の理論を用い、それらの twisting による振る舞いを分析する。
• 既に確立された $p$-進体 $\mathcal{F}$ における $\mathrm{GL}_n(\mathbb{F}_q)$ と $\mathrm{GL}_n(\mathcal{F})$ 間の関係を応用し、有限体の設定から $p$-進設定への結果の移行を行う。
• $n=6$ の場合、有限体上での $n \times 1$ 局所逆定理の反例を明示的に構成し、gamma 因子のみではすべての表現を区別できないことを示す。
• 全定理が失敗する場合でも、$n \times 1$ gamma 因子が表現を一意に特定できる可能性がある「原始的表現」という概念を導入する。
• Langlands 関手性からの構造的類似性と、Gauss 和の既知の性質を用いて、有限体上の $n \times m$ gamma 因子と拡張体上の Gauss 和の関係を予想する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非可約 cuspidal 表現の $\mathrm{GL}_n(\mathbb{F}_p)$ に対して、$n \leq 5$ のとき $n \times 1$ 局所逆定理は成立するか？
• RQ2 境界 $n < \frac{q-1}{2\sqrt{q}} + 1$ のもとで、非可約一般表現への $n \times 1$ 局所逆定理の拡張は可能か？
• RQ3 $n=6$ における有限体上での $n \times 1$ 局所逆定理の失敗の理由は何か？ そして、この失敗を引き起こす表現の構造的性質は何か？
• RQ4 $n \times 1$ gamma 因子がまだ一意に表現を特定できる最小の表現の集合（「原始的」として指定される）は何か？
• RQ5 Langlands 関手性の示唆に従い、有限体上の $n \times m$ gamma 因子と拡張体上の Gauss 和の間には、一般にどのような関係があるか？

主な発見

• 非可約 cuspidal 表現の $\mathrm{GL}_n(\mathbb{F}_p)$ に対して、$n \leq 5$ の範囲で $n \times 1$ 局所逆定理が検証され、twisted gamma 因子がそのような表現を一意に特定することを確認した。
• 非可約一般表現に対しては、Zhiwei Yun の付録で示された条件 $n < \frac{q-1}{2\sqrt{q}} + 1$ のもとで、定理が成立することが証明された。
• $n=6$ の場合、有限体上での $n \times 1$ 局所逆定理が失敗する明示的な例が構成され、gamma 因子のみではすべての表現を区別できないことが示された。
• 本稿では、$n=6$ に対して、$n \times 1$ gamma 因子がこのクラス内での表現を一意に特定できる可能性がある「原始的表現」という新しいクラスを提案した。
• 有限体上の $n \times m$ gamma 因子と拡張体上の Gauss 和の関係を予想する。この予想は、表現論的 $L$-因子と指数和の間のより深い算術的関係を示唆している。