[論文レビュー] Converting online algorithms to local computation algorithms

Yishay Mansour, Aviad Rubinstein+2 more|arXiv (Cornell University)|May 7, 2012

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 15被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、入力のランダムな順列を用いてオンラインアルゴリズムをシミュレートし、クエリ木を用いてクエリの依存関係を分析することにより、オンラインアルゴリズムをローカル計算アルゴリズム（LCAs）に一般化して変換する手法を提示する。主な貢献は、クエリ木のサイズに対する分析を著しく改善し、最大次数に依存しないO(log³n)の時間・空間計算量を達成したことで、最大マッチングに対してはO(log³n)、ハイパーグラフ2-彩色およびk-CNFに対してはO(log⁴n)を達成し、指数部における最大次数への依存を排除した点である。

ABSTRACT

We propose a general method for converting online algorithms to local computation algorithms by selecting a random permutation of the input, and simulating running the online algorithm. We bound the number of steps of the algorithm using a query tree, which models the dependencies between queries. We improve previous analyses of query trees on graphs of bounded degree, and extend the analysis to the cases where the degrees are distributed binomially, and to a special case of bipartite graphs. Using this method, we give a local computation algorithm for maximal matching in graphs of bounded degree, which runs in time and space O(log^3 n). We also show how to convert a large family of load balancing algorithms (related to balls and bins problems) to local computation algorithms. This gives several local load balancing algorithms which achieve the same approximation ratios as the online algorithms, but run in O(log n) time and space. Finally, we modify existing local computation algorithms for hypergraph 2-coloring and k-CNF and use our improved analysis to obtain better time and space bounds, of O(log^4 n), removing the dependency on the maximal degree of the graph from the exponent.

研究の動機と目的

• オンラインアルゴリズムを、保証された効率性と正しさを有するローカル計算アルゴリズム（LCAs）に変換する一般化されたフレームワークの構築を目的とする。
• 依存グラフにおけるクエリ木のサイズの分析を改善することで、既存のLCAsの時間・空間計算量を低減することを目的とする。
• クエリ木のバウンディングにおける指数部における最大次数への指数的依存を排除し、先行研究を改善することを目的とする。
• ロードバランシング問題、最大マッチング、ハイパーグラフ2-彩色、およびk-CNFに対して、多対数時間・空間バウンディングを有するLCAsへの適用範囲を拡張することを目的とする。
• 幅広いクラスのオンラインアルゴリズムを、高い確率で効率的なLCAsに変換可能な汎用的かつ再利用可能な手法を提供することを目的とする。

提案手法

• 入力要素のランダムな順列を用いてオンラインアルゴリズムの実行をシミュレートし、一貫性がありランダムなクエリ順序を保証する。
• 各ノードがクエリを表し、エッジが以前のクエリの応答に依存することを示すクエリ木構造を用いて、クエリ間の依存関係をモデル化する。
• 確率的分析を用いてクエリ木のサイズをバウンディングし、最大次数が有界または二項分布に従う場合に、高確率（w.h.p.）でO(log n)であることを示す。
• クエリ木の分析を応用してLCAsの時間・空間バウンディングを導出し、多対数時間およびメモリ使用量を保証する。
• ハイパーグラフ2-彩色およびk-CNFの既存のLCAアルゴリズムを、改善されたクエリ木分析を統合することで、計算量を低減する。
• O(log n)-wise 独立なランダム順序を用いてランダムネスを効率的にシミュレートし、ローカル計算にO(log³n)のメモリで十分であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 オンラインアルゴリズムを、多対数時間・空間計算量を有するローカル計算アルゴリズム（LCAs）に体系的に変換することは可能か？
• RQ2 特に最大次数が有界または二項分布に従うグラフにおいて、依存グラフ内のクエリ木サイズをより厳密にバウンディングすることで、LCAsの計算量を低減することは可能か？
• RQ3 クエリ木バウンディングの指数部における最大次数への指数的依存を排除することは可能か？
• RQ4 改善されたクエリ木分析を用いて、ハイパーグラフ2-彩色およびk-CNF問題のためのより良いバウンディングを導出可能か？
• RQ5 ロードバランシングアルゴリズム（例：ボールとバケツ）を、同じ近似比を保ちつつO(log n)時間・空間で実行可能なLCAsに変換可能か？

主な発見

• クエリ木のサイズは、高確率（w.h.p.）でO(log n)にバウンディングされ、最大次数dに対して以前のO(log^{d+1} n)のバウンディングよりも著しく改善された。
• 有界次数グラフにおける最大マッチングに対して、得られるLCAはO(log³n)の時間・空間計算量で実行され、先行研究のバウンディングを改善した。
• 改善されたクエリ木分析により、ハイパーグラフ2-彩色およびk-CNFのためのLCAがO(log⁴n)の時間・空間計算量で実行可能となり、指数部における最大次数への依存が完全に排除された。
• ボールとバケツのためのロードバランシングアルゴリズムは、O(log n)時間・空間でLCAに変換可能であり、元のオンラインアルゴリズムと同等の近似比を達成した。
• 本手法はO(log n)-wise 独立なランダム順序をサポートしており、O(log³n)のメモリでランダムネスを効率的にシミュレート可能であり、ボールとバケツ問題に対しては(O(log³n), O(log³n), 1/n)-LCAsを実現した。
• 本フレームワークは汎用的であり、容量制約付きロードバランシングやグループベースのバケツ選択を伴うオンラインアルゴリズムを含む、広範なオンラインアルゴリズムクラスに適用可能である。